python - 如何在python中加速多个内积

Question

我有一些简单的代码可以执行以下操作。

它遍历所有可能长度为 n 的列表 F 与 +-1 个条目。对于每一个，它遍历所有可能的长度 2n 列表 S 与 +-1 个条目，其中 $S$ 的前半部分只是后半部分的副本。该代码计算 F 与长度为 n 的每个 S 子列表的内积。对于每个 F，S，它计算在第一个非零内积之前为零的内积。

这里是代码。

#!/usr/bin/python

from __future__ import division
import itertools
import operator
import math

n=14
m=n+1
def innerproduct(A, B):
    assert (len(A) == len(B))
    s = 0 
    for k in xrange(0,n):
        s+=A[k]*B[k]
    return s

leadingzerocounts = [0]*m
for S in itertools.product([-1,1], repeat = n):
    S1 = S + S
    for F in itertools.product([-1,1], repeat = n):
        i = 0
        while (i<m):
            ip = innerproduct(F, S1[i:i+n])
            if (ip == 0):
                leadingzerocounts[i] +=1
                i+=1
            else:
                break

print leadingzerocounts

n=14 的正确输出是

[56229888, 23557248, 9903104, 4160640, 1758240, 755392, 344800, 172320, 101312, 75776, 65696, 61216, 59200, 59200, 59200]

使用 pypy，对于 n = 14，这需要 1 分 18 秒。不幸的是，我真的很想在 16、18、20、22、24、26 上运行它。我不介意使用 numba 或 cython，但如果可能的话，我想靠近 python。

非常感谢任何帮助加快这一进程。

---

我会在这里记录最快的解决方案。 (如果我错过了更新的答案，请告诉我。)

• n = 22，时间为 9 分 35.081 秒，由 Eisenstat (C) 提供
• Eisenstat (pypy) 在 1 分 16.344 秒时的 n = 18
• n = 18，2 分 54.998 秒，Tupteq (pypy)
• n = 14 at 26s by Neil (numpy)
• n - 14 点 11 分 59 秒 192 秒 by kslote1 (pypy)

Answer 1

这个新代码利用问题的循环对称性获得了另一个数量级的加速。这个 Python 版本使用 Duval 算法枚举项链； C 版本使用蛮力。两者都包含下面描述的加速。 在我的机器上，C 版本在 100 秒内解决了 n = 20! 粗略的计算表明，如果你让它在单核上运行一周，它可以做到 n = 26，并且如下所述，它适合并行性。

import itertools


def necklaces_with_multiplicity(n):
    assert isinstance(n, int)
    assert n > 0
    w = [1] * n
    i = 1
    while True:
        if n % i == 0:
            s = sum(w)
            if s > 0:
                yield (tuple(w), i * 2)
            elif s == 0:
                yield (tuple(w), i)
        i = n - 1
        while w[i] == -1:
            if i == 0:
                return
            i -= 1
        w[i] = -1
        i += 1
        for j in range(n - i):
            w[i + j] = w[j]


def leading_zero_counts(n):
    assert isinstance(n, int)
    assert n > 0
    assert n % 2 == 0
    counts = [0] * n
    necklaces = list(necklaces_with_multiplicity(n))
    for combo in itertools.combinations(range(n - 1), n // 2):
        for v, multiplicity in necklaces:
            w = list(v)
            for j in combo:
                w[j] *= -1
            for i in range(n):
                counts[i] += multiplicity * 2
                product = 0
                for j in range(n):
                    product += v[j - (i + 1)] * w[j]
                if product != 0:
                    break
    return counts


if __name__ == '__main__':
    print(leading_zero_counts(12))

C 版:

#include <stdio.h>

enum {
  N = 14
};

struct Necklace {
  unsigned int v;
  int multiplicity;
};

static struct Necklace g_necklace[1 << (N - 1)];
static int g_necklace_count;

static void initialize_necklace(void) {
  g_necklace_count = 0;
  for (unsigned int v = 0; v < (1U << (N - 1)); v++) {
    int multiplicity;
    unsigned int w = v;
    for (multiplicity = 2; multiplicity < 2 * N; multiplicity += 2) {
      w = ((w & 1) << (N - 1)) | (w >> 1);
      unsigned int x = w ^ ((1U << N) - 1);
      if (w < v || x < v) goto nope;
      if (w == v || x == v) break;
    }
    g_necklace[g_necklace_count].v = v;
    g_necklace[g_necklace_count].multiplicity = multiplicity;
    g_necklace_count++;
   nope:
    ;
  }
}

int main(void) {
  initialize_necklace();
  long long leading_zero_count[N + 1];
  for (int i = 0; i < N + 1; i++) leading_zero_count[i] = 0;
  for (unsigned int v_xor_w = 0; v_xor_w < (1U << (N - 1)); v_xor_w++) {
    if (__builtin_popcount(v_xor_w) != N / 2) continue;
    for (int k = 0; k < g_necklace_count; k++) {
      unsigned int v = g_necklace[k].v;
      unsigned int w = v ^ v_xor_w;
      for (int i = 0; i < N + 1; i++) {
        leading_zero_count[i] += g_necklace[k].multiplicity;
        w = ((w & 1) << (N - 1)) | (w >> 1);
        if (__builtin_popcount(v ^ w) != N / 2) break;
      }
    }
  }
  for (int i = 0; i < N + 1; i++) {
    printf(" %lld", 2 * leading_zero_count[i]);
  }
  putchar('\n');
  return 0;
}

---

您可以通过利用符号对称性 (4x) 并仅迭代那些通过第一个内积测试的向量(渐近地，O(sqrt(n))x)来获得一点加速。

import itertools


n = 10
m = n + 1


def innerproduct(A, B):
    s = 0
    for k in range(n):
        s += A[k] * B[k]
    return s


leadingzerocounts = [0] * m
for S in itertools.product([-1, 1], repeat=n - 1):
    S1 = S + (1,)
    S1S1 = S1 * 2
    for C in itertools.combinations(range(n - 1), n // 2):
        F = list(S1)
        for i in C:
            F[i] *= -1
        leadingzerocounts[0] += 4
        for i in range(1, m):
            if innerproduct(F, S1S1[i:i + n]):
                break
            leadingzerocounts[i] += 4
print(leadingzerocounts)

C 版本，以了解我们在 PyPy 中损失了多少性能(PyPy 的 16 大致相当于 C 的 18):

#include <stdio.h>

enum {
  HALFN = 9,
  N = 2 * HALFN
};

int main(void) {
  long long lzc[N + 1];
  for (int i = 0; i < N + 1; i++) lzc[i] = 0;
  unsigned int xor = 1 << (N - 1);
  while (xor-- > 0) {
    if (__builtin_popcount(xor) != HALFN) continue;
    unsigned int s = 1 << (N - 1);
    while (s-- > 0) {
      lzc[0]++;
      unsigned int f = xor ^ s;
      for (int i = 1; i < N + 1; i++) {
        f = ((f & 1) << (N - 1)) | (f >> 1);
        if (__builtin_popcount(f ^ s) != HALFN) break;
        lzc[i]++;
      }
    }
  }
  for (int i = 0; i < N + 1; i++) printf(" %lld", 4 * lzc[i]);
  putchar('\n');
  return 0;
}

这个算法是令人尴尬的并行，因为它只是对 xor 的所有值进行累加。对于 C 版本，粗略计算表明，几千小时的 CPU 时间足以计算出 n = 26，按目前的费率计算，这相当于几百美元EC2。毫无疑问，需要进行一些优化(例如矢量化)，但对于这样的一次性优化，我不确定程序员需要付出多少努力。