java - 计算字符串的所有排列(破解编码面试，第六章 - 示例 12)

Question

在 Gayle Laakman 的书“Cracking the Coding Interview”，第 VI 章(Big O)，示例 12 中，问题指出给定以下用于计算字符串排列的 Java 代码，需要计算代码的复杂性

public static void permutation(String str) {
    permutation(str, "");
}

public static void permutation(String str, String prefix) {
    if (str.length() == 0) {
        System.out.println(prefix);
    } else {
        for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
            String rem = str.substring(0, i) + str.substring(i + 1);
            permutation(rem, prefix + str.charAt(i));
        }
    }
}

这本书假设因为会有 n!排列，如果我们将每个排列视为调用树中的叶子，其中每个叶子都附加到长度为 n 的路径，那么将不再有 n*n!树中的节点(即:调用次数不超过 n*n!)。

但是节点数不应该是:

因为调用数等于节点数(看视频中的图Permutations Of String | Code Tutorial by Quinston Pimenta)。

如果我们按照这种方法，节点数将为 1(对于树的第一层/根)+ 3(对于第二层)+ 3*2(对于第三层)+ 3*2* 1(第四层/底层)

即:节点数 = 3!/3! + 3!/2! + 3!/1! + 3!/0! = 16

但是，按照前面提到的方法，节点数会是3*3! = 18

难道我们不应该将树中的共享节点算作一个节点吗，因为它们表示一个函数调用？

Answer 1

关于节点的数量，你是对的。那个公式给出了准确的数字，但是书上的方法算了好几遍。

对于较大的 n，您的总和似乎也接近 e * n!，因此可以简化为 O(n!)。

调用次数不超过 n * n! 在技术上仍然是正确的，因为这是一个有效的上限。根据其使用方式，这可能很好，并且可能更容易证明。

对于时间复杂度，我们需要乘以每个节点完成的平均工作。

首先，检查字符串连接。每次迭代都会创建 2 个新字符串以传递给下一个节点。一个String的长度增加1，另一个的长度减少1，但总长度总是n，给出a每次迭代的时间复杂度为 O(n)。

迭代次数因级别而异，因此我们不能只乘以 n。而是查看整棵树的迭代总数，并获得每个节点的平均值。 n = 3:

• 第一层的1节点迭代3次:1 * 3 = 3
• 第二层的3节点迭代2次:3 * 2 = 6
• 第三层的6个节点迭代1次:6 * 1 = 6

总迭代次数为:3 + 6 + 6 = 15。这与树中的节点数大致相同。所以每个节点的平均迭代次数是常数。

总的来说，我们有 O(n!) 次迭代，每次执行 O(n) 工作，总时间复杂度为 O(n * n !)。