math - 曲线函数方程

Question

我正在寻找使用函数方程表达特定曲线(见下图)的方法。

重要的是(假设图表的大小是 1x1 - 实际上它在最终结果中并不重要):

• 明显的形状 - 如图所示；
• f(x) = x 应该有三种解:
  x=0、x 接近或等于 0.5 以及 x=1；
• 如果两条弧线都是可缩放的，那就太好了 - 如左侧示例所示(下方的弧线比上方的弧线更重要)。

我做了一些研究，但似乎没有什么符合我的需求。我也尝试了三角函数和 S 型函数，结果证明它们非常接近我想要的。如果有任何提示甚至解决方案，我将不胜感激。

Answer 1

我相信我已经找到了一种可以满足您要求的函数形式，它使用线性基数 (y=x) 和两个三角函数调整。通过调整这两个参数，您应该能够达到您想要的任何形状。始终满足 f(x)=x(对于 x=0,1,0.5)的约束。 “a”的增加会导致两侧凸出(左侧向下，右侧向上)，“b”值不为零会导致两个凸出之间不对称。

y = x - a*sin(2*pi*x) - b*cos(4*pi*x) + b

在下面的示例中，我选择 a 为 0.1，b 为 0.015。