math - 绘制匀速极坐标曲线

Question

我想绘制一个正在绘制的极曲线(螺旋)的动画。我正在使用 javascript 和 canvas。目前，我正在使用 setInterval 调用绘图函数，该函数绘制从极坐标曲线的参数表示中找到的 x 和 y 坐标(x 和 y 以 theta 表示)。每次调用 draw() 时，我都会将 theta 增加 0.01，从 0 到 2*pi。问题是我希望动画为每次调用绘制相同数量的曲线，以便绘制看起来以均匀的速度进行。每次调用绘制之间的时间不同并不重要；我只需要整个 awing 的速度(以绘制的像素/绘制调用的数量表示)保持不变。换句话说，我需要每次调用绘制时绘制的极坐标图段的弧长相同。我不知道该怎么做。任何帮助/建议将不胜感激。谢谢

Answer 1

设 f(z) 为您在问题中引用的 theta 变量。这里有两个参数方程，应该与您的方程非常相似:

x(f(z)) = f(z)cos(f(z))
y(f(z)) = f(z)sin(f(z))

我们可以将 f(z) 处的位置 p(f(z)) 定义为

p(f(z)) = [x(f(z)), y(f(z))]

f(z) 处的速度 s(f(z)) 是 p 在 f(z) 处的导数的长度。

x'(f(z)) = f'(z)cos(f(z)) - f(z)f'(z)sin(f(z))
y'(f(z)) = f'(z)sin(f(z)) + f(z)f'(z)cos(f(z))

s(f(z)) = 长度(p'(f(z))) = 长度([x'(f(z)), y'(f(z))])

= 长度([f'(z)cos(f(z)) - f(z)f'(z)sin(f(z)), f'(z)sin(f(z)) + f(z)f'(z)cos(f(z))])

= sqrt([f'(z)cos(f(z))]² + [f(z)f'(z)sin(f(z))] ² + [f'(z)sin(f(z))]² + [f(z)f'(z)cos(f(z))] ²)

= sqrt(f'(z) + [f(z)f'(z)]²)

如果您希望当 z 以恒定速率 1 增加时，速度 s(f(z)) 恒定在 C，则需要求解以下一阶非线性常微分方程:

s(f(z)) = sqrt(f'(z) + [f(z)f'(z)]²) = C

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28f%27%28z%29+%2B+%5Bf%28z%29f%27%28z%29%5D%5E2%29+%3D+C

解决这个问题会给你一个函数 theta = f(z)，当你不断增加 z 时，你可以用它来计算 theta。然而，这个微分方程没有闭合形式的解。

换句话说，你必须猜测每一步应该增加多少 theta，对 delta 进行二分搜索以添加到 theta 上，并对 p(t) 进行线积分以评估每个猜测移动多远.