math - Baking-Pi 挑战 - 理解和改进

Question

我昨天花了一些时间写 this challenge published on Reddit 的解决方案，并且能够在没有作弊的情况下完成它，但我留下了几个问题。 Reference material here .

这是我的代码。

(ns baking-pi.core
  (:import java.math.MathContext))

(defn modpow [n e m]
  (.modPow (biginteger n) (biginteger e) (biginteger m)))

(defn div [top bot]
  (with-precision 34 :rounding HALF_EVEN 
    (/ (bigdec top) (bigdec bot))))

(defn pow [n e]
  (.pow (bigdec n) (bigdec e) MathContext/DECIMAL128))

(defn round
  ([n] (.round (bigdec n) MathContext/DECIMAL128))
  ([n & args] (->> [n args] (flatten) (map round))))

(defn left [n d]
  (letfn [(calc [k] (let [bot (+' (*' 8 k) d)
                          top (modpow 16 (-' n k) bot)]
                      (div top bot)))]
    (->> (inc' n)
         (range 0)
         (map calc)
         (reduce +'))))

(defn right [n d]
  (letfn [(calc [[sum'' sum' k]]
                (let [sum' (if (nil? sum') 0M sum')
                      top (pow 16 (-' n k))
                      bot (+' (*' k 8) d)
                      delta (div top bot)]
                  [sum' (+' sum' delta) (inc' k)]))
          (pred [[sum'' sum' k]]
                (cond (or (nil? sum'') (nil? sum')) true
                      (apply == (round sum'' sum')) false
                      :else true))]
    (->> [nil nil (inc' n)]
         (iterate calc)
         (drop-while pred)
         (first)
         (second))))

(defn bbp [n]
  (letfn [(part [m d] (*' m (+' (left n d) (right n d))))]
    (let [sum (-' (part 4 1) (part 2 4) (part 1 5) (part 1 6))]
      (-> sum
          (-' (long sum))
          (*' 16)
          (mod 16)
          (Long/toHexString)))))

我有 2 个问题。

1. 维基百科做出以下声明。由于我的计算精确到小数点后 34 位，我如何利用它为每个 bbp 调用生成更多十六进制数字的 PI？

   in theory, the next few digits up to the accuracy of the calculations used would also be accurate

2. 我的算法依赖于 BigInteger 的 modPow 进行模幂运算(基于以下引用)，以及其他任何地方的 BigDecimals。它也很慢。请记住，我不想失去每个问题 #1 的有意义的准确性，加速该程序并使其有效的 clojurescript 和 clojure 的最佳方法是什么？

   To calculate 16 n − k mod (8k + 1) quickly and efficiently, use the modular exponentiation algorithm.

编辑:从 3 个问题改为 2 个问题。我自己设法回答了第一个问题。

Answer 1

1. 如果您希望每次 bpp 调用计算更多位数

   那么你必须将方程从 1/(16^k) 基数更改为更大的基数。您可以通过对 2 次迭代(k 和 k+1)求和来实现，这样您就可以得到类似

   (...)/16^k  + (...)/16^(k+1)
   (...)/256^k
   

   但在这种情况下，您需要更精确的 int 运算。使用不太精确的迭代通常会更快

2. 如果您查看基本方程，您会发现根本不需要 bigint 进行计算

   这就是使用此迭代的原因，但输出数字当然是bigint。因此，您不需要在 bigint 上计算模算术。

   我不知道你使用的优化程度如何......但这是我的:

   • Modular arithmetics and finite field NTT optimizations

3. 如果您只想要速度而不是无限精度，请使用其他 PSLQ 方程

   我对PSLQ的理解是一种寻找实数和整数迭代之间关系的算法。

这是我最喜欢的800 digits of Pi algorithm这里是从中提取的代码，以防链接中断:

//The following 160 character C program, written by Dik T. Winter at CWI, computes pi  to 800 decimal digits. 
int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;
for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}