Matlab:帮助运行卡尔曼滤波器工具箱

Question

我有 AR(1) 模型，其数据样本 $N=500$ 由随机输入序列 x 驱动。观测值 y 被零均值的测量噪声 $v$ 破坏。型号为

y(t) = 0.195y(t-1) + x(t) + v(t) 其中 x(t) 生成为 randn()。我不确定如何将其表示为状态空间模型以及如何估计参数 $a$ 和状态。我尝试过状态空间表示为

d(t) = \mathbf{a^T} d(t) + x(t)

y(t) = \mathbf{h^T}d(t) + sigma*v(t)

西格玛=2。 我无法理解如何执行参数和状态估计。使用下面提到的工具箱，我检查了 KF 方程与教科书中的方程是否匹配。然而，参数估计的方法是不同的。我将不胜感激关于实现程序的建议。

实现1: 我正在关注这里的实现:Learning Kalman Filter 。该实现不使用期望最大化来估计 AR 模型的参数，而是找出过程噪声的协方差。就我而言，我没有过程噪声，但有输入 $x$。

实现2:Kalman Filter by Kevin Murphy是另一个使用 EM 进行 AR 模型参数估计的工具箱。现在，这很令人困惑，因为两种实现都使用不同的方法进行参数估计。 我很难找出正确的方法、状态空间模型表示和代码。非常感谢有关如何进行的建议。

我运行了 KalmanARSquareRoot 技术的第一个实现，结果完全不同。正在执行指数移动平均平滑并使用长度为 30 的 MA 滤波器。如果我运行演示示例，工具箱运行良好。但改变模型后，结果却很差。也许我做错了什么。我是否需要更改时间序列的 KF 方程？

在第二个实现中，我无法弄清楚要更改什么以及在哪里更改方程式。

一般来说，如果我必须使用这些工具，那么我是否需要更改每个时间序列模型的 KF 方程？如果这些工具箱不适合所有时间序列模型 - AR、MA、ARMA，我该如何自己编写方程？

Answer 1

我对卡尔曼滤波器只有一点经验，所以对此持保留态度。

看来你根本不需要改变方程。使用第二个包 (learn_kalman)，您可以创建大小为 [length(d(t)) length(d(t))] 的 A0 矩阵。 C0 是相同的，在您的情况下，初始状态可能有意义作为单位矩阵(与您的 A0 不同。您需要做的就是选择一个好的初始条件。

但是，我查看了您的系统(绘制了一个示例)，似乎噪音在您的系统中占主导地位。 KF 是一个最优估计器，但我不知道它能拒绝那么多噪声。它只能保证减少协方差......这意味着如果您的系统主要由噪声主导，您将计算出一个糟糕的模型，该模型在给定噪声的情况下估计您的系统!

尝试绘制 [d f]，其中 d 是初始数据，f 使用回归公式计算 f(t) = C * A * f(t-1) :

f(t) = A * f(t-1) ; y(t) = C * f(t)

也就是说，假装没有噪音，但使用估计的 AR 模型。您将看到它拒绝了所有噪音，并且在“技术上”对系统进行了很好的建模(因为唯一独特的行为是在最开始的时候)。

例如，如果您的系统 A = 0.195，Q=R=0.l，那么您将收敛到 A = 0.2207，但它仍然不够好。这里的问题是你的初始状态是如此之低，以至于在数据的几个步骤内，你基本上处于 0 考虑噪声。自然地，KF 可以收敛到很多相似的模型解决方案。任何噪音都会破坏即使是最好的初始条件。

如果您以某种方式提高数据的分辨率(例如更大的初始条件、更精细的时间步长)，您将看到一个很好的拟合。例如，将初始条件更改为 110，您会发现两条曲线相似，但模型仍然相当不同。

我不知道有什么方法可以很好地对数据进行建模。如果噪声方差实际上为 1 并且您的系统很快收敛到 0，那么似乎注定无法有效建模，因为您没有捕获数据集中的任何独特行为。