math - 测试视锥体相交中的轴对齐框 (AAB)

Question

我读到this aabb-plane 测试教程，我无法理解所描述的“优化”aabb-plane 测试。

在“几何方法 - 测试盒 II”下，我理解了所有内容，直到这一行:

Assume a AAB that has its components x,y,and z varying between xmin and xmax; ymin and ymax; and zmin and zmax. The components of the positive vertex p are selected as follows: ...

我也没有得到后面的代码。 我的 AABB 对象由其 minVertex、maxVertex 参数定义。

你能解释一下作者的意思吗？

Answer 1

考虑下面的图片，其中对角线PS (据说)与 normal 平行向量(顺便说一句，这就是教程中所说的 AAB 案例)。这张图代表了问题的 2D 版本，其中的想法更容易解释和理解。

p-vertex根据定义，是与法线方向进一步对齐的方向。这意味着您必须决定以下四个向量中的哪一个与法线进一步对齐:

R - Q, Q - R, P - S or S - P                        (1)

在本例中答案是 S - P ，这意味着S是p-vertex和P n-vertex 。但问题是如何以编程方式检测到这一点。

嗯，dot product两个向量之间测量其中一个向量到另一个向量的投影，因此问题可以重述为: (1) 中的哪个向量与法线 (xn, yn) 具有最大点积。 ？

这是四个点积:

(xn, yn).(R - Q) = xn(x1 - x2) + yn(y1 - y2)
(xn, yn).(Q - R) = xn(x2 - x1) + yn(y2 - y1)
(xn, yn).(P - S) = xn(x1 - x2) + yn(y2 - y1)
(xn, yn).(S - P) = xn(x2 - x1) + yn(y1 - y2)

所以，我们正在寻找的是使总和的两项都为正的那个，这就是

• 如果 xn > 0选择x2 - x1 ( >0 ) 否则 x1 - x2 (<0)
• 如果 yn > 0选择y2 - y1 ( >0 ) 否则 y1 - y2 (<0)

原因是符号规则(+乘+ = +和-乘- = +。)

所有这些都转化为

1. 以 p-vertex = (x1, y1) 开头
2. 如果 xn > 0 ，更改x1与 x2 (有效地离开 p-vertex = (x2, y1) )
3. 如果 yn > 0 ，更改y1与 y2 (有效地离开 p-vertex = (x*, y2) )

(在步骤 3 中，x* 是 x1 或 x2，具体取决于 setp 2 的结果)

如果您处于三维空间，这些论点仍然有效。唯一的区别是你必须添加 z坐标无处不在。