polymorphism - 在 isabelle/hol 中证明解释时的多态 "fix"语句

Question

我正在尝试证明有关多元的一些基本事实 多项式，因此需要一个多次的类型。为了模拟这个，我 使用来自某些未指定类型的变量名的部分函数 到自然数:

type_synonym 'v multi_degree = "'v ⇒ nat"

还有一些涉及有限支持的东西，但这并不 对于这个问题来说真的很重要。然后我定义添加 以明显的逐点方式进行多度:

definition zero_degree :: "'v multi_degree" where "zero_degree = (λ v. 0)"

definition md_plus :: "'v multi_degree ⇒ 'v multi_degree ⇒ 'v multi_degree" (infix "⊕" 70) where
  "(d1 ⊕ d2) = (λ v. d1 v + d2 v)"

lemma assoc_md_plus [simp]: "d1 ⊕ (d2 ⊕ d3) = (d1 ⊕ d2) ⊕ d3"
  by (rule; simp add: md_plus_def)

lemma ident_zero_degree [simp]: "d ⊕ zero_degree = d" and "zero_degree ⊕ d = d"
  by (auto simp add: md_plus_def zero_degree_def)

lemma sym_md_plus: "d ⊕ d' = d' ⊕ d"
  by (rule; simp add: md_plus_def)

现在我想说的是，多次加法的结构为 一个可交换幺半群。最明显的写法是这样的 这个:

interpretation md: comm_monoid "op ⊕" "zero_degree"
proof

到目前为止一切顺利:输出是

goal (3 subgoals):
 1. ⋀a b c. (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
 2. ⋀a b. a ⊕ b = b ⊕ a
 3. ⋀a. a ⊕ zero_degree = a

我绝对可以证明这一点!但是如果我现在写

interpretation md: comm_monoid "op ⊕" "zero_degree"
proof
  fix a
  show "a ⊕ zero_degree = a" by simp

然后我收到警告

Introduced fixed type variable(s): 'c in "a__"

有办法避免警告吗？现在，我已经作弊并证明了 解释与

interpretation md: comm_monoid "op ⊕" "zero_degree"
  by (unfold_locales; simp?; rule sym_md_plus)

这是有效的，但对于 future 的读者来说并不完全清楚......

Answer 1

只需写fix a::"'a multi_ Degree"。如果没有其他约束，Isabelle 会选择 'a 作为类型变量。但是，我认为显式实际绑定(bind)类型变量是一种很好的风格，例如

interpretation md: comm_monoid "op ⊕" "zero_degree :: 'a multi_degree"
proof
  fix a :: "'a multi_degree"

还有一点:您可能需要考虑使用 typedef 引入一种新的 multi_ Degree 类型，然后通过提升/传递定义您想要在其上定义的所有函数。 (参见相应手册)

这样做的优点是您可以实例化正确的类型类(例如comm_monoid_add)，而不必始终进行区域设置假设。另外，您可以编写 + 和 0 而不是 ⊕ 和 zero_ Degree 。