math - 在 3d 空间中的一个点周围均匀排列 X 数量的物体

Question

如果我有 X 数量的东西(让我们随机说 300)

是否有一种算法可以将这些东西均匀地围绕中心点排列？就像 100 面骰子或球体的 3D 网格？

我宁愿让东西像这样均匀分布..

而不是这种极地方式..

ps。对于那些感兴趣的人来说，想知道我为什么要这样做？ 好吧，我做 these 是为了好玩，在完成 #7 后，我决定在 Unity 中以 3D 形式表示电线阵列，并观察它们以缓慢的方式运行。

Answer 1

这是一个简单的转换，将统一样本映射到矩形 [0, 2 pi] x [-1, 1]到半径为 r 的球体上的均匀样本上:

T(phi, z) = (r cos(phi) sqrt(1 - z^2), r sin(phi) sqrt(1 - zˆ2), r z)

这种变换在球体上产生均匀样本的原因是任何区域的面积 T(U)通过变换区域U得到矩形不依赖于U但在U区域.

为了从数学上证明这一点，只要验证向量积的范数就足够了

| ∂T/∂phi x ∂T/∂z |

是常数(球体上的面积是该矢量乘积对 phi 和 z 的积分)。

总结

生成均匀分布在半径 r 的球体中的随机样本执行以下操作:

• 生成随机样本 (phi_1, ..., phi_n)均匀分布于 [0, 2 pi] .

• 生成随机样本 (z_1, ..., z_n)均匀分布于 [-1, 1] .

• 对于每对 (phi_j, z_k)计算T(phi_j, z_k)使用上面的公式。