matlab - MATLAB 中的高斯-赛德尔法

Question

我正在尝试在 MATLAB 中实现 Gauss-Seidel 方法。但我的代码中有两个重大错误，我无法修复它们:

1. 我的代码在小矩阵上收敛得很好，但在大矩阵上却从不收敛。

2. 代码进行了冗余迭代。如何防止冗余迭代？

Gauss-Seidel Method on wikipedia .

N=5;
A=rand(N,N);
b=rand(N,1);
x = zeros(N,1);
sum = 0;
xold = x;
tic
for n_iter=1:1000
    for i = 1:N
        for j = 1:N
            if (j ~= i)
                sum = sum + (A(i,j)/A(i,i)) * xold(j);
            else
                continue;
            end
        end
        x(i) = -sum + b(i)/A(i,i);
        sum = 0;
    end
    if(abs(x(i)-xold(j))<0.001)
        break;
    end
    xold = x;
end
gs_time=toc;
prompt1='Gauss-Seidel Method Time';
prompt2='x Matrix';
disp(prompt2);
disp(x);
disp(prompt1);
disp(gs_time);

Answer 1

首先，概括一下。 Gauß-Seidel 和 Jacobi 方法仅适用于对角占优矩阵，不适用于一般随机矩阵。因此，为了获得正确的测试示例，您需要实际建设性地确保该条件，例如通过

A = rand(N,N)+N*eye(N)

或类似的。

Else the method will diverge towards infinity in some or all components.

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现在来看看您的实现中的其他一些奇怪之处。是什么意思

if(abs(x(i)-xold(j))<0.001)

是什么意思？请注意，该指令位于循环外部，其中 i 和 j 是迭代变量，因此索引值可能未定义。由于惯性，它们会意外地同时具有值​​ N，因此这个标准至少有一点意义。

您想要测试的是整个向量差异的一些范数，因此使用 sum(abs(x-xold))/N 或 max(abs(x -xold))。在右侧，您可能需要乘以应用于 x 的相同范数构造，以便测试相对误差，同时考虑到问题的规模。

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根据给定代码中的指令，您将实现雅可比迭代，首先计算所有更新，然后推进迭代向量。对于 Gauß-Seidel 变体，您需要就地替换单个组件，以便立即使用新计算的值。

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此外，您可以缩短/简化内部循环

xold = x;
for i = 1:N
    sum = b(i);
    for j = 1:N
        if (j ~= i)
            sum = sum - A(i,j) * x(j);
        end
    end
    x(i) = sum/A(i,i);
end
err = norm(x-xold)

使用 matlab 的语言功能甚至更短

xold = x
for i = 1:N
    J = [1:(i-1) (i+1):N];
    x(i) = ( b(i) - A(i,J)*x(J) )/A(i,i);
end   
err = norm(x-xold)