MATLABsolve() 无法求解特定值的三角矩阵

Question

我在 MATLAB 中遇到一些非常奇怪的情况，我无法弄清楚。

我有两组物体坐标，我想找到它们的欧拉角。我设置了旋转矩阵 R 和符号万向角矩阵 R_cardan 来求解角度。对于第一组，我可以简单地执行 solve(R==R_cardan) 但当我使用第二组时，它不起作用。返回的解决方案是空的。

这可能是什么原因造成的？这是测试代码。

clc;clear;close all;

%% For some reason R2 does not want to give a solution
% Find rotation matrix to transform from origin to local reference frame
ex = [ 0.768  0.024 0.640].';
ey = [-0.424  0.768 0.480].';
ez = [-0.480 -0.640 0.600].';

ex2 = [ 0.612372  0.353553 -0.707107].';
ey2 = [0.280330  0.739199 0.612372].';
ez2 = [0.739199 -0.573223 0.353553].';

R = eye(3)*[ex ey ez]
R2 = eye(3)*[ex2 ey2 ez2]
% Symbolic variables
syms beta alpha gamma

% Set up rotatin matrices
R_alpha = [cos(alpha) -sin(alpha) 0; sin(alpha) cos(alpha) 0; 0 0 1]
R_beta = [cos(beta) 0 sin(beta); 0 1 0; -sin(beta) 0 cos(beta)]
R_gamma  = [1 0 0; 0 cos(gamma) -sin(gamma); 0 sin(gamma) cos(gamma)]

% Find symbolic rotation matrix
R_cardan = R_alpha*R_beta*R_gamma

[alpha, beta, gamma] = find_angles(R,R_cardan)
[alpha, beta, gamma] = find_angles(R2,R_cardan) %fails because solution is empty

function [alpha, beta, gamma] = find_angles(R,R_cardan)

% Solve for the angles
sol = solve(R == R_cardan);
alpha = double(sol.alpha(1));
beta = double(sol.beta(1));
gamma = double(sol.gamma(1));

end

我当前的解决方案是手动计算角度，这很好，但我对上面的方法有什么问题感兴趣。

Answer 1

问题在于您要解决精确匹配R == R_cardan。当您使用有限精度时，这是很危险的，并且可能没有解决方案，就像 R2 中发生的那样。您的目标是找到一种解决方案，使 R - R_cardan 的差异非常小 - 理想情况下为零。

我会执行以下操作:创建损失函数

并最小化这个函数。 R = R_cardan 处的理想解决方案会导致零损失，但即使这在数值上是不可能的，您也会得到一个尽可能接近最优解决方案的解决方案(就以下方面而言):欧几里德距离)。

在 MATLAB 中，这有点复杂，但 help pages 中有很好的描述。 .

1. 根据R和R_cardan定义损失函数，并将所有未知数放入向量x中:

   f = sum(sum((R - R_cardan).^2));
   x = [alpha; beta; gamma];
   

2. 解析计算损失函数的梯度和Hessian:

   gradf = jacobian(f, x).'; % column gradf
   hessf = jacobian(gradf, x);
   

3. 将这些函数从符号函数转换为 MATLAB 函数句柄:

   fh = matlabFunction(f, gradf, hessf, 'vars', {x});
   

4. 设置优化器以使用梯度和 Hessian:

   options = optimoptions('fminunc', 'SpecifyObjectiveGradient', true, ... 
                                     'HessianFcn', 'objective', ...
                                     'Algorithm', 'trust-region')
   

5. 最小化!

   solution = fminunc(fh, [0;0;0], options);
   alpha_hat = solution(1);
   beta_hat = solution(2);
   gamma_hat = solution(3);
   

对于第一个示例 R，这给出了与 solve 完全相同的解决方案。 对于第二个示例 R2，重构矩阵 R2_hat(通过将估计值插入 R_cardan 获得)几乎与R2相同，但在最低有效数字上有一些差异:

R2 =
    0.6124    0.2803    0.7392
    0.3536    0.7392   -0.5732
   -0.7071    0.6124    0.3536

R2_hat =
    0.6125    0.2805    0.7390
    0.3533    0.7392   -0.5734
   -0.7071    0.6123    0.3537