r - 查找多个点之间的最短距离

Question

想象一个 xy 坐标的小数据集。这些点通过一个名为indexR的变量进行分组，总共有3组。所有 xy 坐标均采用相同的单位。数据大致如下:

# A tibble: 61 x 3
   indexR     x     y
    <dbl> <dbl> <dbl>
 1      1   837   924
 2      1   464   661
 3      1   838   132
 4      1   245   882
 5      1  1161   604
 6      1  1185   504
 7      1   853   870
 8      1  1048   859
 9      1  1044   514
10      1   141   938
# ... with 51 more rows

目标是确定哪 3 个点(每组一个)彼此最接近，即最小化所选点之间的成对距离总和。

我通过考虑欧几里德距离来尝试这样做，如下所示。 (感谢@Mouad_S，在这个帖子中，以及https://gis.stackexchange.com/questions/233373/distance-between-coordinates-in-r)

#dput provided at bottom of this post
> df$dummy = 1
> df %>% 
+   full_join(df, c("dummy" = "dummy")) %>% 
+   full_join(df, c("dummy" = "dummy")) %>%
+   filter(indexR.x != indexR.y & indexR.x != indexR & indexR.y != indexR) %>% 
+   mutate(dist = 
+            ((.$x - .$x.x)^2 + (.$y- .$y.x)^2)^.5 +
+            ((.$x - .$x.y)^2 + (.$y- .$y.y)^2)^.5 +
+            ((.$x.x - .$x.y)^2 + (.$y.x- .$y.y)^2)^.5,
+          dist = round(dist, digits = 0)) %>%
+   arrange(dist) %>%
+   filter(dist == min(dist))
# A tibble: 6 x 11
  indexR.x   x.x   y.x dummy indexR.y   x.y   y.y indexR     x     y  dist
     <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>    <dbl> <dbl> <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1        1   638   324     1        2   592   250      3   442   513   664
2        1   638   324     1        3   442   513      2   592   250   664
3        2   592   250     1        1   638   324      3   442   513   664
4        2   592   250     1        3   442   513      1   638   324   664
5        3   442   513     1        1   638   324      2   592   250   664
6        3   442   513     1        2   592   250      1   638   324   664

据此，我们可以识别距离最近的三个点(相距最小距离；如下图放大)。然而，当将其扩展为使 indexR 有 4,5 ... n 个组时，挑战就来了。问题在于找到一种更实用或更优化的方法来进行此计算。

structure(list(indexR = c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 
2, 2, 2, 2, 2, 3, 3), x = c(836.65, 464.43, 838.12, 244.68, 1160.86, 
1184.52, 853.4, 1047.96, 1044.2, 141.06, 561.01, 1110.74, 123.4, 
1087.24, 827.83, 100.86, 140.07, 306.5, 267.83, 1118.61, 155.04, 
299.52, 543.5, 782.25, 737.1, 1132.14, 659.48, 871.78, 1035.33, 
867.81, 192.94, 1167.8, 1099.59, 1097.3, 1089.78, 1166.59, 703.33, 
671.64, 346.49, 440.89, 126.38, 638.24, 972.32, 1066.8, 775.68, 
591.86, 818.75, 953.63, 1104.98, 1050.47, 722.43, 1022.17, 986.38, 
1133.01, 914.27, 725.15, 1151.52, 786.08, 1024.83, 246.52, 441.53
), y = c(923.68, 660.97, 131.61, 882.23, 604.09, 504.05, 870.35, 
858.51, 513.5, 937.7, 838.47, 482.69, 473.48, 171.78, 774.99, 
792.46, 251.26, 757.95, 317.71, 401.93, 326.32, 725.89, 98.43, 
414.01, 510.16, 973.61, 445.33, 504.54, 669.87, 598.75, 225.27, 
789.45, 135.31, 935.51, 270.38, 241.19, 595.05, 401.25, 160.98, 
778.86, 192.17, 323.76, 361.08, 444.92, 354, 249.57, 301.64, 
375.75, 440.03, 428.79, 276.5, 408.84, 381.14, 459.14, 370.26, 
304.05, 439.14, 339.91, 435.85, 759.42, 513.37)), class = c("tbl_df", 
"tbl", "data.frame"), row.names = c(NA, -61L), .Names = c("indexR", 
"x", "y"))

Answer 1

一种可能性是将识别最接近元素(每组一个)的问题表述为混合整数程序。我们可以定义决策变量 y_i 来表示每个点 i 是否被选择，以及 x_{ij} 来定义点 i 和 j 是否都被选择 (x_{ij} = y_iy_j)。我们需要从每一组中选择一个元素。

实际上，您可以使用 lpSolve 包(或其他 R 优化包之一)来实现此混合整数程序。

opt.closest <- function(df) {
  # Compute every pair of indices
  library(dplyr)
  pairs <- as.data.frame(t(combn(nrow(df), 2))) %>%
    mutate(G1=df$indexR[V1], G2=df$indexR[V2]) %>%
    filter(G1 != G2) %>%
    mutate(dist = sqrt((df$x[V1]-df$x[V2])^2+(df$y[V1]-df$y[V2])^2))

  # Compute a few convenience values
  n <- nrow(df)
  nP <- nrow(pairs)
  groups <- sort(unique(df$indexR))
  nG <- length(groups)
  gpairs <- combn(groups, 2)
  nGP <- ncol(gpairs)

  # Solve the optimization problem
  obj <- c(pairs$dist, rep(0, n))
  constr <- rbind(cbind(diag(nP), -outer(pairs$V1, seq_len(n), "==")),
                  cbind(diag(nP), -outer(pairs$V2, seq_len(n), "==")),
                  cbind(diag(nP), -outer(pairs$V1, seq_len(n), "==") - outer(pairs$V2, seq_len(n), "==")),
                  cbind(matrix(0, nG, nP), outer(groups, df$indexR, "==")),
                  cbind((outer(gpairs[1,], pairs$G1, "==") &
                         outer(gpairs[2,], pairs$G2, "==")) |
                        (outer(gpairs[2,], pairs$G1, "==") &
                         outer(gpairs[1,], pairs$G2, "==")), matrix(0, nGP, n)))
  dir <- rep(c("<=", ">=", "="), c(2*nP, nP, nG+nGP))
  rhs <- rep(c(0, -1, 1), c(2*nP, nP, nG+nGP))
  library(lpSolve)
  mod <- lp("min", obj, constr, dir, rhs, all.bin=TRUE)
  which(tail(mod$solution, n) == 1)
}

这可以计算示例数据集中最近的 3 个点，每个簇各有一个点:

df[opt.closest(df),]
# A tibble: 3 x 3
#   indexR      x      y
#    <dbl>  <dbl>  <dbl>
# 1      1 638.24 323.76
# 2      2 591.86 249.57
# 3      3 441.53 513.37

它还可以为具有更多点和组的数据集计算最佳可能的解决方案。以下是每组 7 组、100 和 200 点的数据集的运行时间:

make.dataset <- function(n, nG) {
  set.seed(144)
  data.frame(indexR = sample(seq_len(nG), n, replace=T), x = rnorm(n), y=rnorm(n))
}
df100 <- make.dataset(100, 7)
system.time(opt.closest(df100))
#    user  system elapsed 
#  11.536   2.656  15.407 
df200 <- make.dataset(200, 7)
system.time(opt.closest(df200))
#    user  system elapsed 
# 187.363  86.454 323.167 

这远非瞬时完成 - 100 点、7 组数据集需要 15 秒，200 点、7 组数据集需要 323 秒。尽管如此，它仍然比迭代 100 点数据集中的所有 9200 万个 7 元组或 200 点数据集中的所有 138 亿个 7 元组要快得多。您可以使用求解器(例如 Rglpk 包中的求解器)设置运行时限制，以便在该限制内获得最佳解决方案。