julia - 在 Julia 中计算稀疏矩阵的对数行列式

Question

我有兴趣计算大型、稀疏、复杂(浮点)矩阵的行列式的对数。我的第一个想法是使用 LU 分解，即:

srand(123) 
A=complex.(rand(3,3), rand(3,3))

LUF=lufact(A)
LUFs=lufact(sparse(A))

if round(det(LUFs[:L])*det(LUFs[:U])-det(A[LUFs[:p], LUFs[:q]]), 5)==0
    println("Sparse LU determinant is correct\n")
else
    println("Sparse LU determinant is NOT correct\n")
end

它总是会打印出“不正确”选项。此外，

round.(LUFs[:L]*LUFs[:U], 5)==round.(A[LUFs[:p], LUFs[:q]], 5)

总是显示为假。

如果我尝试直接使用

logdet(LUFs)

或

logdet(sparse(A))

我收到错误:

LoadError: MethodError: no method matching
logabsdet(::Base.SparseArrays.UMFPACK.UmfpackLU{Complex{Float64},Int64})
Closest candidates are:
logabsdet(!Matched::Base.LinAlg.UnitUpperTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T)) where T at linalg/triangular.jl:2184
logabsdet(!Matched::Base.LinAlg.UnitLowerTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T)) where T at linalg/triangular.jl:2185
logabsdet(!Matched::Union{LowerTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T), UpperTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T)}) where T at linalg/triangular.jl:2189
...
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我不确定我的编码方式是否有问题(我是从 matlab 过渡的初学者)，或者我的 Julia 安装是否有问题(尽管我已在另一台计算机上复制了这些结果) )。您能给我的任何指示都会很棒!

Answer 1

原因是稀疏 LU 也有一个缩放因子，可以使用 LUFs[:Rs] 提取(在 Julia 0.6 中和 Julia 中的 LUFs.Rs 0.7-)。因此计算变成

julia> det(LUFs[:U])/prod(LUFs[:Rs])
0.4576579970452131 - 0.07585833005688908im

julia> det(A)
0.4576579970452133 - 0.07585833005688908im

对于稀疏情况，我们可能也应该有 logabsdet 。然而，你的矩阵是正定的吗？这样，您就能够计算 Cholesky 分解的 logdet。