c++ - 计算给定数组的子序列数，使得它们的总和小于或等于给定数？

Question

我有一个大小为 n 的整数值数组和一个给定的数字 S。

1<=n<=30

我想找到子序列的总数，使得每个子序列元素的总和小于S。 例如:让n=3，S=5和数组的元素为{1,2,3}那么它的总子序列是 7 as-

{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

但是，所需的子序列是:

{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}

即{1,2,3}没有被取因为它的元素和是(1+2+3)=6大于 S即6>S。其他被采用是因为对于其他子序列元素总和小于S。 因此，可能的子序列总数为 6。 所以我的答案是计数，即6。

我试过递归方法，但它的时间复杂度是2^n。 请帮助我们在多项式时间内完成。

Answer 1

如果数字被限制为正数(或者，从技术上讲，为零，但我假设为正数)，您可以在合理的时间内(可能)解决这个问题，使用伪多项式算法来解决背包问题。它被称为伪多项式是因为它在 nS 时间内运行。这看起来是多项式的。但不是，因为这个问题有两个复杂参数:第一个是n，第二个是S的“大小”，即S的位数，称它为M。所以这个算法实际上是n 2^M。

为了解决这个问题，让我们定义一个二维矩阵A。它有 n 行和 S 列。我们会说 A[i][j] 是使用第一个 i 元素可以形成的子序列的数量，并且最大总和至多 j。立即观察到 A 的右下角元素是解决方案，即 A[n][S](是的，我们使用的是基于 1 的索引)。

现在，我们需要一个 A[i][j] 的公式。请注意，所有使用第一个 i 元素的子序列要么包含 ith<​​ 元素，要么不包含。不存在的子序列数仅为 A[i-1][j]。做的子序列的数量只是 A[i-1][j-v[i]]，其中 v[i] 只是第 i 个元素的值。这是因为通过包含第 i 个元素，我们需要将总和的余数保持在 j-v[i] 以下。因此，通过将这两个数字相加，我们可以组合包含和不包含第 j 个元素的子序列以获得总数。所以这导致我们使用以下算法(注意:我对元素和 i 使用基于零的索引，但对 j 使用基于 1 的索引):

std::vector<int> elements{1,2,3};
int S = 5;
auto N = elements.size();
std::vector<std::vector<int>> A;
A.resize(N);
for (auto& v : A) {
    v.resize(S+1);  // 1 based indexing for j/S, otherwise too annoying
}

// Number of subsequences using only first element is either 0 or 1
for (int j = 1; j != S+1; ++j) {
    A[0][j] = (elements[0] <= j);
}

for (int i = 1; i != N; ++i) {
    for (int j = 1; j != S+1; ++j) {
        A[i][j] = A[i-1][j];  // sequences that don't use ith element
        auto leftover = j - elements[i];
        if (leftover >= 0) ++A[i][j];  // sequence with only ith element, if i fits
        if (leftover >= 1) {  // sequences with i and other elements
            A[i][j] += A[i-1][leftover];
        }
    }
}

运行此程序然后输出 A[N-1][S] 会根据需要产生 6。如果这个程序运行得不够快，你可以通过使用单个 vector 而不是 vector 的 vector 来显着提高性能(并且你可以通过不浪费列来节省一些空间/性能，就像我所做的那样，为了 1-index ).