r - 根据 R 中的坐标计算总绝对曲率

Question

给定一组对应于闭合形状的坐标，我想计算 total absolute curvature ，这需要计算每个点的曲率，取绝对值，然后求和。足够简单。

我使用了this question的答案从 x y 坐标矩阵 (xymat) 计算曲率并得到我认为的总绝对曲率:

sum(abs(predict(smooth.spline(xymat), deriv = 2)$y))

问题是总绝对曲率的最小值为 2*pi，并且与圆的绝对曲率完全相同，但此代码计算的值小于 2*pi:

library(purrr)
xymat <- map_df(data.frame(degrees=seq(0:360)), 
           function(theta) data.frame(x = sin(theta), y = cos(theta)))
sum(abs(predict(smooth.spline(xymat), deriv = 2)$y))

这将返回 1.311098，而不是预期值 6.283185。

如果我按照前面的答案将smooth.spline的df参数更改为3，则返回值为3.944053，仍然害羞2*pi(smooth.spline自身计算的df值为2.472213)。

有没有更好的计算曲率的方法？ smooth.spline 是通过弧长参数化的还是将其合并(以某种方式)挽救此计算？

Answer 1

好的，在我们开始之前先讲几件事。您在 seq 中使用度数，这会给出不正确的结果(0 到 360 度)。您可以通过在 R 中取 cos(360) 来检查这是否错误，该值不是 1。详细信息下的三角函数文档对此进行了解释。

所以让我们将您的功能更改为这样

xymat <- map_df(data.frame(degrees=seq(0,2*pi,length=360)), 
         function(theta) data.frame(x = sin(theta), y = cos(theta)))

如果你绘制这个，这确实看起来像一个圆圈。

让我们将其限制在圆的下半部分。如果您在不了解对称性和查看绘图的情况下通过此样条线，则很可能会得到一条穿过圆的水平线。

为什么？因为样条线不知道它在 y = 0 的上方和下方是对称的。样条线试图拟合解释“数据”的函数，而不是跟踪圆弧。它将 y = 0 周围的两组对称点之间的差异分开。

如果我们将样条线限制在圆的下半部分，我们可以使用 1 到 -1 之间的 y 值，如下所示:

lower.semicircle <- data.frame(predict(smooth.spline(xymat[91:270,], all.knots = T)))

让我们通过它拟合一条样条线。

lower.semicircle.pred<-data.frame(predict(smooth.spline(lower.semicircle, all.knots = T)))

请注意，我在这里没有使用 deriv 函数。这是针对您链接到的 cars 示例中的另一个问题。您想要总绝对曲率，而他们正在研究曲率的变化率。

我们现在拥有的是使用样条线近似的下半圆。现在您需要所有小连续点之间的距离，就像维基百科页面的积分一样。

让我们使用距离矩阵来计算所有小弧距离。这实际上计算了每个点到每个其他点之间的欧几里得距离。

all.pairwise.distances.in.the.spline.approx<-dist(lower.semicircle.pred, diag=F)
dist.matrix<-as.matrix(all.pairwise.distances.in.the.spline.approx)
seq.of.distances.you.want<-dist.matrix[row(dist.matrix) == col(dist.matrix) + 1]

最后一个对象是您需要求和的内容。

sum(seq.of.distances.you.want)

..下半圆的计算结果为 [1] 3.079，大约是 2*pi 预期值的一半。

它并不完美，但样条线存在边缘效应问题。