c++ - 找出分数 a/b 的小数点后第 k 位，其中 a,b,k 是非常大的整数(小于 10e18)

Question

我的任务是找到分数 (a/b) 小数点后第 k 位的数字。 昨天我发现了这个算法。
为了获得小数点后的任何数字，我生成了一个名为 rem 的变量并进行了循环

for (int i = 1; i <= k+1; i++)    
      {
         rem = a%b;
         a = rem*10;
      }
      cout << a/b;    

循环将返回一个值，该值是小数点后的第 k 位。
但是这个任务要求我用a，b，k计算非常大的数(小于或等于10e18)，所以代码肯定会超过时间限制。

• 找出重复前的数字个数。它是分母中因数 2 和 5 中较大的一个。
• 如果k不超过位数，运行for循环。
• 否则，我们仍然会运行 for 循环到 k+1。将除法的余数存储在变量 x 中。
• 用上面相同的内容运行一个 while 循环，直到余数再次具有 x 的值。此后，将除法的每一个商存储到一个名为qut的数组中。
• while 循环终止后，数组将存储 repetend 中的每个数字。根据数组中的位数，我们可以计算出第k位。
  然而，这个算法仍然被证明是耗时的，因为在a和b是两个连续整数的情况下，repetend变得非常大。 你能帮我出主意吗？

Answer 1

您的 for 循环计算的实际上是 10 * (a*10^k % b)/b。我们可以通过平方求幂来更有效地做到这一点。不过，我们必须小心不要在每一点溢出:

int kth_digit_frac(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t k) {
    return 10 * mulmodu64(a, powmod(10, k, b), b) / b;
}

// a*b % m, overflow safe
inline uint64_t mulmodu64(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t m) {
    #if defined(__GNUC__) && defined(__x86_64__)
        uint64_t q, r;
        asm("mulq %3;"
            "divq %4;"
            : "=a"(q), "=d"(r)
            : "a"(a), "d"(b), "rm"(m)
            : "cc");
        return r;
    #else
        a %= m;
        b %= m;

        // No overflow possible.
        if (a == 0) return 0;
        if (b <= std::numeric_limits<uint64_t>::max() / a) return (a*b) % m;

        uint64_t res = 0;
        while (a != 0) {
            if (a & 1) {
                if (b >= m - res) res -= m;
                res += b;
            }

            a >>= 1;
            if (b >= m - b) b += b - m;
            else            b += b;
        }

        return res;
    #endif
}


// b^e % m, overflow safe
inline uint64_t powmod(uint64_t b, uint64_t e, uint64_t m) {
    uint64_t r = 1;

    b %= m;
    while (e) {
        if (e % 2 == 1) r = mulmodu64(r, b, m);
        b = mulmodu64(b, b, m);
        e >>= 1;
    }

    return r;
}

对于适合 64 位整数的任何 a,b,k，它会在眨眼间运行。