algorithm - 递推的复杂度 T(n)=T(n/2T(n/2)+n^2？

Question

根据主定理，这个递归是 θ(n^2)，但是如果我们用树递归来解决这个问题，那么解就是 θ(n^2*logn)。我做错了什么吗？

Answer 1

如果递推关系为 T(n) = 2T(n/2) + n^2，那么您处于主定理的第三种情况，并且正则性条件适用，因此 T(n) = Theta (n^2)。 [c_crit 为 log_2(2) = 1, n^2 = Omega(n), 2(n/2)^2 = (n^2)/2 (因此 k<1，具体来说 k=1/2)]

如果你手动展开递归关系，那么你会得到:

T(n) = n^2 + 2(n/2)^2 + 4(n/4)^2 + 8(n/8)^2 + ...
     = n^2 ( 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)
     <= 2n^2

所以这个方法也给你 T(n) = Theta(n^2)。

inputting the recurrence relation into Wolfram Alpha and seeing what it says的方法给出 T(n) ~ 2n^2，所以又是 Theta(n^2)。