python - 二维高斯核的傅里叶变换与空间域中的对应物不匹配

Question

我们知道高斯滤波器的傅立叶变换在频域中又是高斯的，我编写了以下方法来构建高斯核:

def get_gaussian(size, sigma):
  g_kernel = np.zeros((size,size))
  x_center = size // 2
  y_center = size // 2
  for i in range(size):
    for j in range(size):
      g_kernel[i,j] = np.exp(-((i - x_center)**2 + (j - y_center)**2) / (2*sigma**2))
  return 1/(2*np.pi * sigma**2)* g_kernel

plt.figure(figsize=(8, 10))
sigma = 20
g_spatial = get_gaussian(img2.shape[0],sigma)
plt.imshow(g_spatial)

plt.figure(figsize=(8, 10))
g_frequnecy = fft.fftshift(fft.fft2(g_spatial))
plt.imshow(np.abs(g_frequnecy))

plt.figure(figsize=(8, 10))
g_spatial = get_gaussian(img2.shape[0],sigma / (np.sqrt(2) * np.pi))
plt.imshow(g_spatial)

第二个和第三个高斯函数似乎根本不匹配。我将在下面附上所有三个高斯核的图片。我很确定我已经计算了每个高斯核的方差，以便它们根据高斯核的二维傅里叶变换进行匹配。我哪里出错了？

Answer 1

在频域中，高斯的西格玛为 size/(2 * pi * sigma)，其中 size 为图像的大小， sigma 空间域西格玛。是的，对于非正方形图像，空间域中各向同性高斯分布在频域中不是各向同性。

您的计算sigma/(np.sqrt(2) * np.pi)是错误的。判断其不正确的一种快速方法是，使用您的计算，空间域中较大的西格玛也会在频域中产生更大的西格玛。但我们知道，在空间域中放大(==变大)会缩小频域，因为较大的波长具有较小的频率。