r - R 中的手动主成分分析

Question

问题是关于主成分分析的，部分是手工完成的。

免责声明:我的背景不是数学，而且我是第一次使用 R。

给出了 R^3 中的以下五个数据点。其中 xi1-3 是变量，x1 - x5 是观测值。

    | x1 x2 x3 x4 x5 
----------------------
xi1 | -2 -2  0  2  2 
xi2 | -2  2  0 -2  2 
xi3 | -4  0  0  0  4

给出执行主成分分析后的三个主成分向量，如下所示:

Phi1 = (0.41, 0.41, 0.82)T
Phi2 = (-0.71, 0.71, 0.00)T
Phi3 = (0.58, 0.58, -0.58)T

问题如下

1) Calculate the principal component scores zi1, zi2 and zi3 for each of the 5 data points.
2) Calculate the proportion of the variance explained by each principal component.

到目前为止，我已经用以下代码回答了问题 1，其中 Z 代表分数:

A = matrix(
c(-2, -2, 0, 2, 2, -2, 2, 0, -2, 2, -4, 0, 0, 0, 4),
nrow = 3,
ncol = 5,
byrow = TRUE
)

Phi = matrix (
c(0.41, -0.71, 0.58,0.41, 0.71, 0.58, 0.82, 0.00, -0.58),
nrow = 3,
ncol = 3,
byrow = FALSE
)

Z = Phi%*%A

现在我被问题 2 困住了，我得到了公式:

但我不确定如何使用 R 命令重新创建公式，有人可以帮助我吗？

Answer 1

#Here is the numerator:
(Phi%*%A)^2%>%rowSums()
[1] 48.4128 16.1312  0.0000

#Here is the denominator:
sum(A^2)
[1] 64

#So the answer is:
(Phi%*%A)^2%>%rowSums()/sum(A^2)
[1] 0.75645 0.25205 0.00000

我们可以使用prcomp+summary进行验证:

summary(prcomp(t(A)))

Importance of components:
                         PC1  PC2 PC3
Standard deviation     3.464 2.00   0
Proportion of Variance 0.750 0.25   0
Cumulative Proportion  0.750 1.00   1

这大致相同，因为您的 $\Phi$ 四舍五入到小数点后两位。