big-o - 此代码的大 O 时间复杂度

Question

给出以下代码-:

for(int i = 1; i <= N; i++)
    for(int j = 1; j <= N; j = j+i)
    {
        //Do something
    }

我知道外循环运行 N次，并且内部循环运行大约 log(N)次。这是因为在 i 的每次迭代中, j运行ceil(N) , ceil(N/2) , ceil(N/4)次等等。这只是粗略的计算一下，可以猜测时间复杂度肯定是 O(N log(N)) .

我如何从数学上证明这一点？

我知道对于 i<sup>th</sup>迭代，j增加ceil(N/2<sup>(i - 1)</sup>) .

Answer 1

对于 i 的每个值，内循环的迭代总数为

i = 1: j = 1, 2, 3 ..., n ---> total iterations = n
i = 2: j = 1, 3, 5 ..., n ---> total iterations = n/2 if 2 divides n or one less otherwise
i = 3: j = 1, 4, 7 ..., n ---> total iterations = n/3 if 3 divides n or one less otherwise
...
i = m: j = 1, 1 + m, ... , n ---> total iterations ~ n/m
...
1

因此总迭代次数大约为(n + n/2 + n/3 ... + 1)。

这个总和是Harmonic Series其值约为 ln(n) + C，因此总迭代次数约为 n ln(n)，并且由于所有对数都通过常数相关，因此迭代次数将为 O(nlogn)。