matlab - 为什么在执行离散傅里叶逆变换时将指数视为连续变量不起作用？

Question

我有一组点描述复平面中的闭合曲线，称之为Z = [z_1, ..., z_N]。我想对这条曲线进行插值，由于它是周期性的，三角插值似乎是一个自然的选择(特别是因为它提高了精度)。通过进行FFT，我们得到傅里叶系数:

F = fft(Z);

此时，我们可以通过公式得到Z(其中1i是虚数单位，我们使用(k-1)*( n-1) 因为 MATLAB 索引从 1) 开始

                 N
   Z(n) = (1/N) sum  F(k)*exp( 1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N.
                k=1

我的问题

有什么理由为什么n必须是整数吗？据推测，如果我们将 n 视为 1 到 N 之间的任何实数，我们将在内插曲线上获得更多点。 这是真的吗？例如，如果我们想要将点数加倍，我们是否可以不设置

                 N
   Z_new(n) =  (1/N) sum  F(k)*exp( 1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), with n = 1, 1.5, 2, 2.5, ..., N-1, N-0.5, N
                k=1

？

新点当然只会受到一些插值误差的影响，但它们会相当准确，对吧？ 我问这个问题的原因是因为这个方法不适合我。当我尝试这样做时，我得到了一堆毫无意义的乱码。

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(顺便说一句，我知道我可以使用 interpft() 命令，但我只想在曲线的某些区域添加点，例如 z_a 之间 和 z_b)

Answer 1

关键是当n是整数时，你有一些正交的主要函数，可以作为空间的基础。当n不是整数时，公式中的指数函数不正交。因此，基于这些非正交基础的函数表达式并不像您期望的那样有意义。

对于正交情况，您可以查看以下示例(来自 here )。正如您所检查的，您可以找到两个非整数的 n_1 和 n_2，下面的积分不再为零，并且它们不正交。