c++ - 从欠定系统中删除不可解的方程

Question

我的程序试图求解线性方程组。为此，它组​​装了矩阵 coeff_matrix 和 vector value_vector，并使用 Eigen 来解决它们，例如:

Eigen::VectorXd sol_vector = coeff_matrix
        .colPivHouseholderQr().solve(value_vector);

问题在于系统既可能是过度确定的，也可能是欠定的。在前一种情况下，Eigen 给出了正确或不正确的解决方案，我使用 coeff_matrix * sol_vector - value_vector 检查解决方案。

但是，请考虑以下方程组:

a + b - c     =  0
        c - d =  0
        c     = 11
      - c + d =  0

在这种特殊情况下，Eigen 正确求解了后三个方程，而且还给出了 a 和 b 的解。

我想实现的是，只有只有一个解的方程才会被求解，其余的(这里是第一个方程)将保留在系统中。

换句话说，我正在寻找一种方法来找出当时在给定方程组中哪些方程可以求解，哪些方程不能求解，因为会有多个解。

您能建议实现该目标的任何好方法吗？

编辑:请注意，在大多数情况下，矩阵不是正方形的。我在这里又添加了一行，只是为了说明过度确定也可能发生。

Answer 1

我想你想要的是 singular value decomposition (SVD) ，这会给你确切的你想要什么。 SVD 后，“只有一个解的方程将被求解”，并且解是伪逆的。它还将为您提供零空间(无限解决方案的来源)和左零空间(不一致的来源，即无解决方案)。