python - 对具有滞后的列求和的最快方法

Question

给定一个方阵，我想将每一行移动其行号并对列求和。例如:

array([[0, 1, 2],        array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],    ->            [3, 4, 5],      ->   array([0, 1+3, 2+4+6, 5+7, 8]) = array([0, 4, 12, 12, 8])
       [6, 7, 8]])                    [6, 7, 8]])

我有 4 个解决方案 - fast , 慢, slower和 slowest，它们执行完全相同的操作，并按速度排名:

def fast(A):
    n = A.shape[0]
    retval = np.zeros(2*n-1)
    for i in range(n):
        retval[i:(i+n)] += A[i, :]
    return retval

def slow(A):
    n = A.shape[0]
    indices = np.arange(n)
    indices = indices + indices[:,None]
    return np.bincount(indices.ravel(), A.ravel())

def slower(A):
    r, _ = A.shape
    retval = np.c_[A, np.zeros((r, r), dtype=A.dtype)].ravel()[:-r].reshape(r, -1)
    return retval.sum(0)

def slowest(A):
    n = A.shape[0]
    retval = np.zeros(2*n-1)
    indices = np.arange(n)
    indices = indices + indices[:,None]
    np.add.at(retval, indices, A)
    return retval

令人惊讶的是，非矢量化解决方案是最快的。这是我的基准:

A = np.random.randn(1000,1000)

%timeit fast(A)
# 1.85 ms ± 20 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

%timeit slow(A)
# 3.28 ms ± 9.55 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

%timeit slower(A)
# 4.07 ms ± 18.7 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

%timeit slowest(A)
# 58.4 ms ± 993 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

---

是否存在更快的解决方案？如果不是，有人可以解释为什么实际上 fast 是最快的吗？

编辑

稍微加速慢:

def slow(A):
    n = A.shape[0]
    indices = np.arange(2*n-1)
    indices = np.lib.stride_tricks.as_strided(indices, A.shape, (8,8))
    return np.bincount(indices.ravel(), A.ravel())

以与 Pierre 相同的方式绘制运行时(以 2**15 作为上限 - 由于某种原因 slow 无法处理此大小)

对于 100x100 的数组，

slow 比任何解决方案(不使用 numba)都要快一些。 sum_antidiagonals 仍然是 1000x1000 数组的最佳选择。

Answer 1

这是一种有时比您的“fast()”版本更快的方法，但仅限于n的有限范围内(对于 n x n 数组，大约在 30 到 1000 之间。即使使用 numba，循环 (fast()) 在大型数组上也很难被打败，并且实际上渐近收敛到简单的时间a.sum(axis=0)，这表明这与大型数组的效率差不多(感谢您的循环!)

该方法(我将其称为 sum_antidiagonals())在 a 的条纹版本上使用 np.add.reduce()以及来自相对较小的一维阵列的化妆掩模，该阵列被 strip 化以创建二维阵列的错觉(不消耗更多内存)。

此外，它不仅限于方阵(但是 fast() 也可以轻松地适应这种概括，请参阅本节底部的 fast_g()帖子)。

def sum_antidiagonals(a):
    assert a.flags.c_contiguous
    r, c = a.shape
    s0, s1 = a.strides
    z = np.lib.stride_tricks.as_strided(
        a, shape=(r, c+r-1), strides=(s0 - s1, s1), writeable=False)
    # mask
    kern = np.r_[np.repeat(False, r-1), np.repeat(True, c), np.repeat(False, r-1)]
    mask = np.fliplr(np.lib.stride_tricks.as_strided(
        kern, shape=(r, c+r-1), strides=(1, 1), writeable=False))
    return np.add.reduce(z, where=mask)

请注意，它不限于方阵:

>>> sum_antidiagonals(np.arange(15).reshape(5,3))
array([ 0,  4, 12, 21, 30, 24, 14])

说明

为了了解其工作原理，让我们通过一个示例来检查这些 strip 数组。

给定一个初始数组a，即(3, 2):

a = np.arange(6).reshape(3, 2)
>>> a
array([[0, 1],
       [2, 3],
       [4, 5]])

# after calculating z in the function
>>> z
array([[0, 1, 2, 3],
       [1, 2, 3, 4],
       [2, 3, 4, 5]])

你可以看到，这几乎就是我们想要的sum(axis=0)，除了下三角形和上三角形是不需要的。我们真正想要总结的是:

array([[0, 1, -, -],
       [-, 2, 3, -],
       [-, -, 4, 5]])

输入掩码，我们可以从一维内核开始构建它:

kern = np.r_[np.repeat(False, r-1), np.repeat(True, c), np.repeat(False, r-1)]
>>> kern
array([False, False,  True,  True, False, False])

我们使用一个有趣的切片:(1, 1)，这意味着我们重复同一行，但每次滑动一个元素:

>>> np.lib.stride_tricks.as_strided(
...        kern, shape=(r, c+r-1), strides=(1, 1), writeable=False)
array([[False, False,  True,  True],
       [False,  True,  True, False],
       [ True,  True, False, False]])

然后我们只需向左/向右翻转，并将其用作 np.add.reduce() 的 where 参数。

速度

b = np.random.normal(size=(1000, 1000))

# check equivalence with the OP's fast() function:
>>> np.allclose(fast(b), sum_antidiagonals(b))
True

%timeit sum_antidiagonals(b)
# 1.83 ms ± 840 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

%timeit fast(b)
# 2.07 ms ± 15.2 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

在本例中，速度会快一点，但仅快 10% 左右。

在 300x300 数组上，sum_antidiagonals() 比 fast() 快 2.27 倍。

但是!

尽管将 z 和 mask 放在一起非常快(np.add.reduce() 之前的整个设置只需要 46 µs在上面的 1000x1000 示例中)，求和本身为 O[r (r+c)]，即使只有 O[r c] 实际相加(其中 mask == True) 是必需的。因此，方形数组的操作量增加了大约 2 倍。

在 10K x 10K 阵列上，这符合我们的要求:

• 快速需要 95 毫秒，而
• sum_antidiagonals 需要 208 毫秒。

尺寸范围比较

我们将使用可爱的 perfplot包通过 n 范围比较多种方法的速度:

perfplot.show(
    setup=lambda n: np.random.normal(size=(n, n)),
    kernels=[just_sum_0, fast, fast_g, nb_fast_i, nb_fast_ij, sum_antidiagonals],
    n_range=[2 ** k for k in range(3, 16)],
    equality_check=None,  # because of just_sum_0
    xlabel='n',
    relative_to=1,
)

观察

• 如您所见，sum_antidiagonals() 相对于 fast() 的速度优势仅限于大约在 30 到 1000 之间的 n 范围.
• 它永远不会打败 numba 版本。
• just_sum_0()，它只是沿 axis=0 求和(因此是一个很好的底线基准，几乎不可能被击败)，只是稍微快一点对于大型阵列。这一事实表明 fast() 与大型数组的速度差不多。
• 令人惊讶的是，numba 在达到一定大小后(即在最初几次运行“烧入”LLVM 编译之后)会减少。我不确定为什么会出现这种情况，但它似乎对于大型数组变得很重要。

其他函数的完整代码

(包括fast到非方形数组的简单推广)

from numba import njit

@njit
def nb_fast_ij(a):
    # numba loves loops...
    r, c = a.shape
    z = np.zeros(c + r - 1, dtype=a.dtype)
    for i in range(r):
        for j in range(c):
            z[i+j] += a[i, j]
    return z

@njit
def nb_fast_i(a):
    r, c = a.shape
    z = np.zeros(c + r - 1, dtype=a.dtype)
    for i in range(r):
        z[i:i+c] += a[i, :]
    return z

def fast_g(a):
    # generalizes fast() to non-square arrays, also returns the same dtype
    r, c = a.shape
    z = np.zeros(c + r - 1, dtype=a.dtype)
    for i in range(r):
        z[i:i+c] += a[i]
    return z

def fast(A):
    # the OP's code
    n = A.shape[0]
    retval = np.zeros(2*n-1)
    for i in range(n):
        retval[i:(i+n)] += A[i, :]
    return retval

def just_sum_0(a):
    # for benchmarking comparison
    return a.sum(axis=0)