math - 如何在每个结果的不同概率满足标准之前找到 n 平均试验次数？

Question

我花了几天时间试图解决这个问题并查找教程，但到目前为止我发现的所有内容似乎都接近我需要的内容，但没有给出我需要的结果。

我有一个可以生成单个字母 A-F 的设备。为了简单起见，您可以将其想象为带有字母的骰子。每次使用时，它总是会产生一个且仅一个字母。然而，它有一个主要区别:每个字母都有不同的已知被选中概率:

A: 25%
B: 5%
C: 20%
D: 15%
E: 20%
F: 15%

这些概率在所有尝试中保持不变。

此外，在我“成功”之前，我必须积累一个特定的组合:

As needed: 1
Bs needed: 3
Cs needed: 0
Ds needed: 1
Es needed: 2
Fs needed: 3

我需要找到要累积此字母组合所必须发生的平均字母选择次数(即滚动/试验/尝试)。任何单独的结果有更多都是完全可以的少于所需的字母数量，但只有当每个字母被选择至少其最小次数时才算成功。

我看过很多关于多项式概率分布和类似内容的教程，但我没有找到任何解释如何找到这样的场景的平均试验次数的内容。请清楚地解释答案，因为我不是统计数据的奇才。

Answer 1

除了Severin的答案之外，逻辑上对我来说看起来不错，但评估成本可能会很高(即阶乘的无限和)。 让我提供一些应该给出良好近似值的直觉。

一次考虑每个类别。引用这个math stackexchange question/ answer 。每个类别k次成功的预期 throw 次数(i)可计算为k(i)/P(i) :

Given,
p(A): 25% ; Expected number of tosses to get 1 A = 1/ 0.25 = 4
p(B): 5% ; Expected number of tosses to get 3 B's = 3/ 0.05 = 60
p(C): 20% ; Expected number of tosses to get 0 C = 0/ 0.20 = 0
p(D): 15% ; Expected number of tosses to get 1 D = 1/ 0.15 = 6.67 ~ 7
p(E): 20% ; Expected number of tosses to get 2 E's = 2/ 0.20 = 10
p(F): 15% ; Expected number of tosses to get 3 F's = 3/ 0.15 = 20

您知道获得 3 B 是您的瓶颈，您可以预计平均 throw 60 次才能完成您的场景。