r - 如何验证 R 中的函数是否为 PDF？

Question

我正在尝试验证函数是否是 pdf，即它具有以下属性: 1) f(x) 从负无穷大到无穷大的积分为 1， 2) 对于所有 x，f(x) > 0。 此外，我还尝试绘制 cdf 函数。

这是我在 R 脚本中的函数:

f <- function(x) ifelse(x>=-1 & x<=1, 1-abs(x), 0)
curve(f, -5, 5)

我尝试了各种方法来找到密度，但似乎无法编写一个脚本来告诉我 1)概率 X 等于 1，2)所有值都 > 0。我尝试编写一些此页面上的“d”函数 ( http://ww2.coastal.edu/kingw/statistics/R-tutorials/prob.html )，但无法正确格式化它们。有什么建议吗？

Answer 1

除少数特殊情况外，您将无法准确验证函数是否是 pdf。但是，如果您很清楚函数的支持是什么(即函数非零或接近非零的值集)，则可以近似地执行此操作。

例如，采用dnorm函数，即标准普通pdf。在 -40 和 +40 之外，这实际上为零。您可以通过执行以下操作创建一个具有 10,000 个点的示例域

> xs <- seq(-40, 40, len=10000)

然后检查所有值是否大于或等于零就像这样简单

> all(dnorm(xs) >= 0)
TRUE

要检查函数是否积分为(大约)1，您可以这样做

> integral <- integrate(dnorm, lower=-40, upper=40)
> abs(integral$value - 1) < 1e-10
TRUE

因此，您可以确信函数 dnorm 描述了范围 (-40, 40) 上的概率分布。

要检查您在问题中定义的函数，显然范围是 (-1, 1)，因此您可以这样做

> xs <- seq(-1, 1, len=10000)
> all(f(xs) >= 0)
TRUE
> integral <- integrate(f, lower=-1, upper=1)
> abs(integral$value - 1) < 1e-10
TRUE

所以你的函数看起来很可能是一个 pdf 文件。