R:组合学，一种组合的排列数

Question

我有三个不同的事件 (1,2,3)，具有不同的概率 (0.15, 0.76, 0.09)，我想通过替换抽取 5 次。 我现在可以使用确定可能的组合数量

nsimplex(3,5)  ### =21

来自组合包。 我可以使用

确定每个组合的概率

mySimplex <- xsimplex(3,5)
myProbs<-c(0.15, 0.76, 0.09)
results<- apply(mySimplex,2,dmultinom,prob=myProbs)

此外，我当然可以通过计算 3^5= 243 来确定排列数。

但是，如果不手动计算同一组合的每个排列，我如何知道绘制它们的频率呢？也就是说，我的每个组合中有多少种排列？

如果我理解正确的话，有 243 种排列可以构建 21 种不同的组合。现在我的问题是，每个组合有多少种排列。例如。组合 {1,1,1,1,1} 将仅构建一次，而其他组合则通过多次排列创建。

我想你可以通过使用每个组合的概率来实现这一点，但我不知道该怎么做？或者有没有其他方法可以在 R 中轻松确定这一点？ 预先感谢您。

Answer 1

项目 1 的 a 个不可区分副本、项目 2 的 b 和项目 3 的 c 的排列数量，其中 a + b + c = N，是N!/(a!b!c!)。

例如，如果您有 (a,b,c) = (3,1,1) 则有 5!/(3!1!1!) = 20 安排。

  c  b  a  a  a    b  a  c  a  a    a  b  a  a  c    a  a  c  a  b    
  c  a  b  a  a    b  a  a  c  a    a  c  b  a  a    a  a  b  c  a    
  c  a  a  b  a    b  a  a  a  c    a  c  a  b  a    a  a  b  a  c    
  c  a  a  a  b    a  b  c  a  a    a  c  a  a  b    a  a  a  b  c    
  b  c  a  a  a    a  b  a  c  a    a  a  c  b  a    a  a  a  c  b  

一般来说，我们可以这样计算:

nperm<-function(...) {
   args<-as.numeric(list(...));
   num<-lfactorial(sum(args));
   den<-sum(lfactorial(args));
   return(round(exp(num-den)));
}

所以，例如，

x<-expand.grid(0:5,0:5,0:5)
x<-x[rowSums(x)==5,]
x[,"nperm"]<-apply(x,1,function(x) do.call(nperm,as.list(x)))

Var1 Var2 Var3 nperm
   5    0    0     1
   4    1    0     5
   3    2    0    10
   2    3    0    10
   1    4    0     5
   0    5    0     1
   4    0    1     5
   3    1    1    20
   2    2    1    30
   1    3    1    20
   0    4    1     5
   3    0    2    10
   2    1    2    30
   1    2    2    30
   0    3    2    10
   2    0    3    10
   1    1    3    20
   0    2    3    10
   1    0    4     5
   0    1    4     5
   0    0    5     1

和 sum(x[,"nperm"]) == 243，如预期。