r - 在 R 中进行简单蒙特卡洛积分时出现错误结果

Question

我正在做有关数值积分的演示的一部分。虽然演讲本身将讨论更好的数值积分形式(主要是重要性抽样和分层抽样)，但我在部分内容中提到了均匀分布的蒙特卡罗积分抽样。

我发现:

mean(sin(runif(1e8, 0, pi)))

给出的答案是0.636597，而不是预期的1。这个答案似乎与增加样本量非常一致，我不确定为什么会有这么多错误。其他计算例如:

mean(sin(runif(1e6, 0, 2 * pi)))

给出0.0005398996，更接近于0的预期答案。

谁能帮我看看为什么

mean(sin(runif(1e8, 0, pi)))

这样的回答算不准确吗？这是用户错误，还是从均匀分布中采样时预期的错误？

Answer 1

我回来是为了让我的答案完整，以防 future 的读者需要了解逻辑。请注意，正如您的问题中所述，真实值是 2 而不是 1。

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因此，您只是计算了样本的平均函数值，但忘记了乘以间隔长度。

set.seed(0); pi * mean(sin(runif(1000, 0, pi)))
# [1] 2.001918

就是你所需要的。

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此结果的确定性 View 是 mean value theorem for integral ，或积分的黎曼和近似。

所以我们也可以这样做

pi * mean(sin(seq(0, pi, length = 1000)))
# [1] 1.997998

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通过重要性采样，蒙特卡罗积分更加有用。阅读 Monte Carlo integration using importance sampling given a proposal function举一个很好的例子。