matlab - 在 MATLAB 中求余切导数时出现意外结果

Question

任何人都可以解释为什么在 MATLAB 中对余切 (cot) 函数求导会产生与 Wolframalpha 不同的结果吗？

这是我在 MATLAB 中的代码(带有注释的结果):

syms v d z
F = v + d*(cot(z));
R_v = diff(F,v)     % = 1
R_z = diff(F,z)     % = -d*(cot(z)^2 + 1) 
R_d = diff(F,d)     % = cot(z)

这是 Wolframalpha 的结果:

虽然第一个和最后一个结果非常好，但第二个结果我不明白。据我所知，余切导数为:

谁能解答我的困惑？

我使用的是 MATLAB R2017a。

Answer 1

MATLAB 和理论解决方案是等效的。

Matlab 为您提供:

d/dz( cot(z) ) = -( cot(z)^2 + 1 )

让我们从那里开始工作...

= -( 1/tan(z)^2 + 1 )                     % By definition cot(z)=1/tan(z)
= -( cos(z)^2 / sin(z)^2 + 1 )            % Using tan(z) = sin(z)/cos(z)
= -( (1 - sin(z)^2) / sin(z)^2 + 1 )      % Using cos(z)^2 + sin(z)^2 = 1
= -( 1/sin(z)^2 - sin(z)^2/sin(z)^2 + 1 ) % Expanding the fraction
= -( 1/sin(z)^2 - 1 + 1 )                 % Simplifying
= -1/sin(z)^2                             % Expected result!

因此，正如您在最后所述，MATLAB 结果与理论预期完全一致。 d 在偏导数中被视为常数，因此仍为系数。

如果您不喜欢手动计算，您可以让 MATLAB 为您检查等价性...

simplify( R_z - (-d/sin(z)^2) ) % = 0, so they are the same.

您可以通过使用rewrite和simplify从MATLAB获得预期的形式。

 % rewrite the result R_z  in terms in the SIN function
 simplify(rewrite( R_z, 'sin' ) )
 % >> ans = -d/sin(z)^2

但是请注意，这并没有明确定义。来自 simplify docs

Simplification of mathematical expression is not a clearly defined subject. There is no universal idea as to which form of an expression is simplest.

您最好使用上面所示的 simplify(...) = 0 方法，然后根据需要将所需结果打印到屏幕上。如果您不输出结果字符串，则表达式的形式无关紧要，您可以继续前进!

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对于wolframalpha，我 cannot reproduce你的问题...

但是，您可以再次注意到，您显示的第一个结果是等效的:

% Your result from wolfram alpha
syms x
diff(cot(x), x)
% = - cot(x)^2 - 1
% = - ( cot(x)^2 + 1 ) 
% This is the same as the MATLAB result, same reasoning follows