c++ - 快速排序的最大元素交换次数

Question

我正在通过阅读 Robert Sedgewick 的“算法”一书并完成练习来提高我的算法知识。这是我遇到的困难:

What is the maximum number of times during the execution of Quick.sort() that the largest item can be exchanged, for an array of length N ?

我已经通过实验确定，最大项目的最大交换次数是 floor(N/2)，假设数组中的所有元素都是不同的。 我如何从数学上证明这一点？如果我错了，我的错是什么？

我发现有好几处提到了这个问题(例如 this one )，但是，答案与我的结果不符。这个答案表明最大数量是 N-1，但是 我找不到这样的数组，它会给我正好 N-1 的交换它最大的项目，当用我的快速排序版本排序时(见下文)。

我使用的快排代码:

template<typename BiDirIterator, typename Compare = std::less<typename BiDirIterator::value_type>>
BiDirIterator partition(BiDirIterator begin, BiDirIterator end, Compare compare = Compare())
{
    auto partition_item = begin;
    while (true)
    {
        while (++begin != end && !compare(*partition_item, *begin));
        while (begin != end && !compare(*--end, *partition_item));

        if (begin == end)
            break;

        std::iter_swap(begin, end);
    }

    if (partition_item != --begin)
        std::iter_swap(partition_item, begin);

    return begin;
}

template<typename BiDirIterator, typename Compare = std::less<typename BiDirIterator::value_type>>
void quicksort(BiDirIterator begin, BiDirIterator end, Compare compare = Compare())
{
    if (begin == end || std::next(begin) == end)
        return;

    auto pos = partition(begin, end, compare);
    quicksort(begin, pos, compare);
    quicksort(++pos, end, compare);
}

以及我用来计算最新商品交换次数的代码:

struct exchange_counter
{
    exchange_counter(int value)
        : value(value)
    {
    }

    int value;
    int number_of_exchanges = 0;

    exchange_counter(const exchange_counter& other) = default;
    exchange_counter& operator=(const exchange_counter& other) = default;
    exchange_counter(exchange_counter&& other) = default;

    exchange_counter& operator=(exchange_counter&& other)
    {
        value = other.value;
        number_of_exchanges = other.number_of_exchanges + 1;
        return *this;
    }

    friend bool operator<(const exchange_counter& left, const exchange_counter& right) noexcept
    {
        return left.value < right.value;
    }

    friend bool operator==(const exchange_counter& left, const exchange_counter& right) noexcept
    {
        return left.value == right.value;
    }
};

for (int i = 1; i != 15; ++i)
{
    std::vector<exchange_counter> values;
    for (int j = 0; j != i; ++j)
        values.emplace_back(j);

    auto max_element = i - 1;
    auto max_number_of_exchanges = 0;
    do
    {
        for (auto& value : values)
            value.number_of_exchanges = 0;

        auto copy = values;
        quicksort(copy.begin(), copy.end());
        max_number_of_exchanges = (std::max)(max_number_of_exchanges,
            std::find(copy.begin(), copy.end(), max_element)->number_of_exchanges);
    }
    while (std::next_permutation(values.begin(), values.end()));

    std::cout << "Elements: " << i << "; max exchanges: " << max_number_of_exchanges << std::endl;
}

附言。如果我使用相同的方法在 Visual Studio 2015(实现为快速排序)中测试 std::sort，则最大项的交换次数为 N - 1。

Answer 1

每次对数组进行分区时，最大的项目必须移动 2 个位置，以便交换它的最大次数。它不能只移动 1 个位置，因为在这种情况下它将成为一个枢轴元素并将移动到它的最终位置。例如，考虑以下数组:

4 10 3 x x x ...
P i  j

划分数组后，最大的元素 (10) 向右移动 1 个位置

3 4 10 x x x ...
    P

但是现在最大的元素变成了一个枢轴元素，将被移动到数组的末尾，只增加 1 个交换。

相反，我们需要安排项目，使最大的项目移动 2 个位置，保持 1 个项目在前面以成为枢轴元素:

2 10 4 1 x x x ...
P i    j

分区后:

1 2 4 10 x x x ...
    P i    j

最大的元素每次移动2个位置，因此交换次数为floor(N/2)。

示例(N = 10)

2 10 4 1 6 3 8 5 7 9

在这种情况下，最大元素 (10) 的最大交换次数为 5。