java - 为什么我的逆投影矩阵的两个元素始终为 0？

Question

我正在编写一个光线追踪器，我需要将光线从屏幕转换到世界上。我使用 View -投影-视口(viewport)矩阵的逆来从屏幕像素坐标返回到世界空间坐标。

我偶然注意到，无论我如何移动、缩放、绕轨道运行或旋转相机，逆矩阵的两个元素始终为 0。我对投影矩阵的理解不够深入，不知道为什么。

这是我的 Matrix 类中希望相关的部分:

// OpenGL-style column-vectors layout.
public final class Matrix4 {
    public double e11, e12, e13, e14;
    public double e21, e22, e23, e24;
    public double e31, e32, e33, e34;
    public double e41, e42, e43, e44;
    
    public void transform(Vec3 v) {
        double x = v.x, y = v.y, z = v.z;
        double w = (x * e41) + (y * e42) + (z * e43) + (e44);
        double norm = 1 / w;
        v.x = ((x * e11) + (y * e12) + (z * e13) + (e14)) * norm;
        v.y = ((x * e21) + (y * e22) + (z * e23) + (e24)) * norm;
        v.z = ((x * e31) + (y * e32) + (z * e33) + (e34)) * norm;
    }
    
    public void perspectiveFovLH(double fovy, double aspect, double znear, double zfar) {
        double yscale = 1 / tan(fovy * 0.5);
        double xscale = yscale / aspect;
        double Q = zfar / (zfar - znear);
        
        e11 = xscale;
        e22 = yscale;
        e33 = Q;
        e34 = Q * -znear;
        e43 = 1;
    }
}

这是移动相机一段时间后的 View -投影-视口(viewport)矩阵:

[ -331.62051997,  -616.31014741, -927.45531750,  354532.72229686
   158.60434983, -1091.70516425,  427.49500301,  420008.37868979
     0.75468455,    -0.51045982,   -0.41337968,     766.88486375
     0.75430721,    -0.51020459,   -0.41317299,     771.50142132 ]

这是它的逆:

[ -0.00058203, -0.00019009,  113.94949731, -112.89669211
  -0.00033747, -0.00072765,  -84.29481494,   84.34162134
  -0.00064586,  0.00055151,  -61.14292715,   60.77360931
  -0.00000000, -0.00000000,   -0.19990000,    0.20000000 ]

当我移动相机时，大多数元素都会不断变化。逆函数右下角的两个元素似乎与 znear 和 zfar 参数直接相关。左下角的两个元素看起来总是0。

这个事实在变换方法中很有用。如果 e41 和 e42 为 0，并且当将光线的近点和远点转换到屏幕上时，输入 z 始终为 0 或 1，则可以提前计算 w 除法，而不是按像素计算。这是有效的，并且是一个有用的加速。

但是，我担心这个假设以后会破坏某些东西。所以我想知道，这两个元素都为0意味着什么，这个假设什么时候成立？

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编辑:我found out仿射 4x4 矩阵具有最后四个元素 (0 0 0 1)。我的逆矩阵几乎匹配。但是，使透视矩阵的逆矩阵仿射或几乎仿射的魔力是什么？

Answer 1

对于给定的perspectiveFovLH矩阵P和任何齐次/仿射变换矩阵M，逆R≔ (PM)⁻¹总是有R_wx=R _wy=0。

证明

要看到这一点，对于某些输入v，令t为Mv，并令s为>Pt=PMv，这样v=Rs。 请注意，每个 M 都有 M_wx=M_wy=M _wz=0 且M_ww=1，这样t_w=v_w。 然后从P的稀疏性观察s_w=t_z并且

s_z=Qt_z − Qz₀t_w
=Qs_w − Qz₀v_w

解最后一个方程得出

v_w=(Qs_w − s_z)/(Qz₀)

这个公式显然只依赖于s_z和s_w，证明了假设 R_wx=R_wy=0。

基本原理

我们可以用一种非公式化的方式来理解这一点:3×4 矩阵足以在屏幕上进行透视，因为您只需要 2 个输出坐标和一个用于划分它们的齐次坐标。使用完整的 4×4 矩阵会引入冗余，因为结果的 z 和 w 坐标仅源自输入的 z 坐标(以及初始 w 的已知常数 1)。无论投影之前应用的世界变换如何，变换后的 z 和原始 w 中仍然有这两个方程，这足以为他们解决。