c++ - lu_factorize 返回什么？

Question

boost::number::ublas 包含 M::size_type lu_factorize(M& m) 函数。它的名字表明它执行 LU decomposition给定矩阵 m 的，即应该产生两个 m = L*U 的矩阵。似乎没有为此功能提供文档。

很容易推导出它返回0表示分解成功，当矩阵为奇异时返回非零值。但是，完全不清楚结果在哪里。通过引用矩阵表明它可以就地工作，但是它应该产生两个矩阵(L 和U)而不是一个。那么它有什么作用呢？

Answer 1

boost里面没有文档，但是看SciPy's lu_factor 的文档可以看出，LU 分解返回一个结果的情况并不少见。

这就足够了，因为在LU 分解 的典型方法中，L 的对角线仅由 1 组成，如 this answer from Mathematics 中所示。 ，例如。

因此，可以将 L 和 U 都放入一个矩阵中，将 L 放在结果的下半部分，省略对角线 (假设只包含一个)，上部是 U。例如，对于 3x3 问题，结果是:

    u11 u12 u13
m = l21 u22 u23
    l31 l32 u33

这意味着:

     1    0   0
L =  l21  1   0
     l31  l32 1

和

    u11 u12 u13
U = 0   u22 u23
    0   0   u33

检查 boost 的 void lu_substitute(const M& m, vector_expression<E>& e)来自同一命名空间的函数似乎证实了这一点。它求解方程 LUx = e，其中 L 和 U 都包含在其 m 中分两步论证。

首先使用 m 的下半部分求解 Lz = e z，其中 z = Ux :

inplace_solve(m, e, unit_lower_tag ());

然后，计算出 z = Ux(原地修改了 e)，可以使用 m 的上半部分求解 Ux = e :

inplace_solve(m, e, upper_tag ());

inplace_solve在 the documentation 中提到，它:

Solves a system of linear equations with triangular form, i.e. A is triangular.

所以一切似乎都有道理。