c++ - 为什么创建堆数组的时间复杂度不是O(log(n!))而是O(nlogn)？

Question

通过插入函数“insert(A,n)”在堆中插入新元素需要 O(log n) 时间(其中 n 是数组“A”中的元素数)。插入函数如下:

void insert(int A[], int n)
{
   int temp,i=n;
   cout<<"Enter the element you want to insert";
   cin>>A[n];
   temp=A[n];
   while(i>0 && temp>A[(i-1)/2])
   {
      A[i]=A[(i-1)/2];
      i=(i-1)/2;
   }
   A[i]=temp;
}

插入函数的时间复杂度是O(log n)。

将数组转换为堆数组的函数如下:

void create_heap()
{
   int A[50]={10,20,30,25,5,6,7};
   //I have not taken input in array A from user for simplicity.
   int i;
   for(i=1;i<7;i++)
   {
      insert(A,i);
   }
}

假设这个函数的时间复杂度是O(nlogn)。

-> 但是插入函数在每次调用中最多要比较“i”个元素。即，对于每次调用，单次循环运行的时间复杂度为 O(log i)。

-> 所以首先是 log1，然后是 log2，然后是 log3 等等，直到 log6。

-> 所以对于一个数组的 n 个元素，总的时间复杂度是 log2 + log3 + log4 +....logn

-> 这将是 log(2x3x4x...xn) = log(n!)

那么为什么时间复杂度不是 O(log(n!)) 而是 O(nlogn) ??

Answer 1

Log(n!) 受日志规则 log(n^n) 的限制，其 n*logn

1*2*3*4*....*n = n!
n*n*n*n*....*n = n^n

很明显n!

那么当 O(logn!) 是更紧的界限时，为什么要使用 O(nlogn)？因为 nlogn 以 log(n!) 为界，令人惊讶，不是吗？

log(1*2*3*4*....*n) = log(1) + log(2) + ... + log(n) 

让我们扔掉前半部分

log(1*2*3*4*....*n) > log(n/2) + log((n/2) + 1) + log((n/2)+2) + ... + log(n) 
                    > log(n/2) + log(n/2) + ... + log(n/2) 
                    = n/2*log(n/2) = O(nlogn)