recursion - 递归 lambda 演算函数

Question

我想创建一个 lambda 演算函数 P，使得 (P x y z) 给出 ((x y)(x P)(P z))。我尝试过使用 Y-combinator/Turing 组合器的变体，即 λg.(g g) 形式的函数，因为我需要重现函数本身，但我看不到任何前进的方向。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

基本上你想求解“β方程”P x y z = (x y) (x P) (P z)。 有一种求解 M = ... M ... 形式的方程的通用方法。 您只需将右侧包裹在 lambda 中，形成一个术语 L，其中所有出现的 M 都被 m 替换:

L = λm. ... m ...

然后使用定点组合器即可得到解决方案。让我用你的例子来说明一下。

L = λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)),
    where λxyz. is a shorthand for λx. λy. λz.   

然后，P = Y L，展开Y和L我们得到:

P = (λf. (λg. f (g g)) (λg. f (g g))) (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)))
  ->β
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))
// the previous line is our "unfolded" P

让我们检查一下 P 是否符合我们的要求:

P x y z
    =   // unfolding definition of P
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) x y z
    ->β
((λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) x y z
    ->β
(λxyz. (x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)) x y z
    ->β
(x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 1st occurrence of P
(x y) (x P) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 2nd occurrence of P
(x y) (x P) (P z)

Q.E.D.