c++ - 系列的第n项

Question

我们必须找到这个系列的第 n 项 http://oeis.org/A028859

n<=1000000000

答案应该是模 1000000007

我已经写了代码，但是当n a 很大时，时间超过了限制。

#include<iostream>
using namespace std

int main()
{
    long long int n;
    cin>>n;

    long long int a,b,c;
    a=1;
    b=3;

    int i;
    for(i=3;i<=n;i++)
    {
        c=(2ll*(a+b))%1000000007;
        a=b;
        b=c; 
    }

    cout<<c;
}

Answer 1

解决此类问题的标准技术是将其重写为矩阵乘法，然后使用 exponentiation by squaring高效地计算矩阵的幂。

在这种情况下:

a(n+2) = 2 a(n+1) + 2 a(n)
a(n+1) = a(n+1)

(a(n+2)) = (2  2) * ( a(n+1) )
(a(n+1))   (1  0)   ( a(n)   )

所以如果我们定义矩阵 A=[2,2 ; 1,0]，那么你可以通过

计算第 n 项

[1,0] * A^(n-2) * [3;1]

所有这些操作都可以以 1000000007 为模完成，因此不需要大数库。

它需要 O(log(n)) 2*2 矩阵乘法来计算 A^N，所以总的来说这个方法是 O(log(n))，而你原来的方法是 O(n)。

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Here是一个很好的解释和此方法的 C++ 实现。