c++ - IEEE 754 浮点加法和乘法的互换性

Question

在 IEEE 754 (IEC 559) 浮点标准中，加法 x + x 是否可以与乘法 2 * x 互换，或者更一般地说，是否可以保证 case_add 和 case_mul 总是 给出完全相同的结果？

#include <limits>

template <typename T>
T case_add(T x, size_t n)
{
    static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type");

    T result(x);

    for (size_t i = 1; i < n; ++i)
    {
        result += x;
    }

    return result;
}

template <typename T>
T case_mul(T x, size_t n)
{
    static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type");

    return x * static_cast<T>(n);
}

Answer 1

Is the addition x + x interchangeable by the multiplication 2 * x in IEEE 754 (IEC 559) floating-point standard

是的，因为它们在数学上是相同的，所以它们会给出相同的结果(因为结果是精确的 float )。

or more generally speaking is there any guarantee that case_add and case_mul always give exactly the same result?

一般不会，不会。据我所知，它似乎适用于 n <= 5。 :

• n=3 : 作为 x+x是精确的(即不涉及四舍五入)，所以 (x+x)+x只涉及最后一步的一轮舍入。

• n=4 (并且您使用的是默认舍入模式)然后

  • 如果 x 的最后一位为 0，则 x+x+x是精确的，因此结果与 n=3 的参数相同.
  • 如果最后两位是01 , 然后是 x+x+x 的精确值将具有 1|1 的最后 2 位(其中 | 表示格式中的最后一位)，这将向上取整为 0|0 .下一次添加将给出准确的结果 |01 ，因此结果将向下舍入，抵消之前的错误。
  • 如果最后两位是11 , 然后是 x+x+x 的精确值将具有 0|1 的最后 2 位, 将向下舍入为 0|0 .下一次添加将给出准确的结果 |11 , 因此结果将向上舍入，再次抵消之前的错误。

• n=5 (同样，假设默认舍入):因为 x+x+x+x是准确的，其成立的原因与 n=3 相同.

对于 n=6它失败了，例如拿x成为1.0000000000000002 (下一个 double 在 1.0 之后)，在这种情况下 6x是6.000000000000002和 x+x+x+x+x+x是6.000000000000001