computer-vision - 齐次矩阵有八个独立比例的矩阵元素？

Question

我正在阅读一些关于计算机视觉的论文。这看起来像一个简单的事实，但我无法理解。它是关于用于平面投影变换的齐次 [3x3] 矩阵。并且据说它有八个独立比例的矩阵元素。不知道比例是多少，八个独立的比例是多少？请帮我解决这个问题。

谢谢。

Answer 1

表示两个投影变换P和 kP是等价的。

考虑二维中的一个点:它可以用向量[x,y]表示在非齐次坐标中.用齐次坐标表示的相同点将是 [x',y',w]哪里

x = x' / w
y = y' / w

如您所见，w充当比例因子。
将齐次坐标除以 w你得到 [x'/w, y'/w, 1] = [x,y,1] .因此，一个二维点只有两个自由度。

您可以将相同的推理应用于 3x3 矩阵。在 9 个元素中，只有 8 个是独立的，而最后一个可以看作是比例因子。实际上，您选择九个中的哪一个并不重要。

更多信息:Homogeneous coordinates

编辑: 自由度的个数就是独立参数的个数。在二维点的示例中，即使我们有三个参数(x'、y'、w)，也只有两个独立的比率:如我之前所示，如果除以w您的前两个参数变成分数(“比率”表示除法)，而第三个参数只是 1 .

对于 3D 点也是同样的道理，但是你必须考虑 z轴:通用 3D 点是 [x',y',z',w] (4 个参数)，但是，如果我们除以 w它变成[x'/w, y'/w, z'/w, 1]所以三个独立的比率。

我总是除以 w因为比率x'/w , y'/w , z'/w具有特定含义(点的非齐次坐标)，但要计算自由度，您可以使用任何其他参数。

让我们考虑一个 2x2 矩阵的例子(对于 3x3 是一样的，只是输入的时间更长):

m11  m12
m21  m22

4个参数。除以你选择的其中一个(好吧，实际上是我的选择......)，说 m12它变成了

m11      1
---    
m12

m21     m22
---     ---
m12     m12

3 个比率，所以三个自由度(对于通用 2x2 矩阵)。例如，如果我们有 m21 = m12我们会得到

m11      
---      1
m12

        m22
 1      ---
        m12

因此在这种情况下我们只有 2 个自由度!不要因为看到 m11 而感到困惑, m22和 m12 (三个参数)，因为实际上你可以考虑a = m11/m12和 b= m22/m12 , 就变成了

a   1
1   b

这意味着两个独立的参数，因此是两个自由度。

希望现在更清楚了