ieee-754 - IEEE 754 binary16 半 float 的类似 float.h 的定义

Question

我使用的是在 SoftFloat 库中实现的半 float (阅读:100% IEEE 754 兼容)，为了完整起见，我希望为我的代码提供与 float.h> 用于 float、double 和 long double。

我知道有不同风格的半 float ，但我只对 IEEE 754 的标准化部分感兴趣，称为 binary16。

根据我的研究和测试，我有信心定义一些常量如下:

#define HALF_MANT_DIG      11
#define HALF_DIG           3
#define HALF_DECIMAL_DIG   5
#define HALF_EPSILON       UINT16_C(0x1400) /* 0.00097656 */
#define HALF_MIN           UINT16_C(0x0400) /* 0.00006103515625 */
#define HALF_MAX           UINT16_C(0x7BFF) /* 65504.0 */

注意:epsilon、min 和 max 定义为该类型采用的 16 位的原始十六进制表示。将原始值分配给类型的正确方法取决于所使用的半 float 库。

但是，对于与指数相关的定义，我未能达成共识。我看过Wikipedia page for binary16 , 在这other SO question , 在 Half library ，以及 GitHub 和其他地方的其他几个代码。

proposal linked从另一个 SO 问题听起来对我来说很有声望，以及 Half library 好消息是它们匹配。但是，我在 FP16.java implementation 发现了分歧。 , 在 this implementation , 在 Zig language implementation ，并在 Sargon对于 D.

#define HALF_MIN_EXP     The article and Half say (-13) but FP16.java and sargon say (-14) 
#define HALF_MAX_EXP     The article and Half say 16 but others say 14 or 15
#define HALF_MIN_10_EXP  The article and Half say (-4) but sargon says (-5)
#define HALF_MAX_10_EXP  The article and Half say 4 but sargon says 5

我想这篇文章和 Half 可能是正确的来源，但是，我能确定 IEEE 754 binary16 的良好值吗？

Answer 1

#define HALF_MANT_DIG 11

是的，binary16 格式有 11 个有效数字(位)。 (10 存储在主要有效数字字段中，1 通过指数字段编码。)

#define HALF_DIG 3

我手头没有引用资料，所以不做评论。但这可以毫不费力地进行测试。

#define HALF_DECIMAL_DIG 5

IEEE 754-2019 将其定义为 1+ceiling(p×log₁₀(2))，其中 p 是“数字格式中的有效位”，因此为 11，因此 1+ceiling(11•.3010299957) = 1+ceiling(3.3) = 1+4 = 5。

#define HALF_EPSILON UINT16_C(0x1400) /* 0.00097656 */

是的，有 11 个有效位，1 表示为高位 2⁰ 和低位 2⁻¹⁰，即 .0009765625。这是用 15 的指数偏差编码的，因此指数字段中为 5，所以 5 << 11 , 即 1400₁₆。

#define HALF_MIN UINT16_C(0x0400) /* 0.00006103515625 */

是的，最小正态指数编码为1，去除偏差得到-14，即.00006103515625，指数字段中的1给出 0400<子>16。

#define HALF_MAX UINT16_C(0x7BFF) /* 65504.0 */

是的，最大正规指数字段是30，30 << 11给出 7800₁₆ 并且最大有效数字段是 1111111111₂ = 3FF₁₆，将它们合并给出 7BFF₁₆。去除 15 的指数偏差得到 15，因此表示的值为 2¹⁵•(2−2⁻¹⁰) = 65,504。

#define HALF_MIN_EXP The article and Half say (-13) but FP16.java and sargon say (-14)
#define HALF_MAX_EXP The article and Half say 16 but others say 14 or 15

C 将浮点表示定义为有效数位在小数点之后开始，而不是在小数点之前有一个，其余的在小数点之后。也就是说，对于基数为 b 的浮点格式，有效数在 [1/b, 1) 而不是 [1, b>).这在 *_MIN_EXP 的值中可见和 *_MAX_EXP和 frexp 的行为函数，并且指数与 IEEE 754 中使用的更常见定义相差一个。

根据 IEEE-754，指数范围是 [−14, 15]，因此，对于 C 标准的缩放，它是 [−13, 16]。

#define HALF_MIN_10_EXP The article and Half say (-4) but sargon says (-5)

C 2018 5.2.4.2.2 12 表示这是 ⌈log₁₀b^e_min−1⌉，其中 e_min 为 HALF_MIN_EXP , 所以我们有 ⌈log₁₀2⁻¹³⁻¹⌉ = ⌈−4.2144…⌉ = −4。我们从HALF_MIN知道高于 10⁻⁴ 是在正常范围内，而 10⁻⁵ 不是，所以 −4 是“最小负整数，使得 10 的次方在范围内归一化 float ”，也在 5.2.4.2.2 12 中。

#define HALF_MAX_10_EXP The article and Half say 4 but sargon says 5

如上，C 标准将其表示为 ⌊log₁₀((1−b^{− p})b^e_max)⌋ = ⌊log₁₀((1−2^{− 11})2 ¹⁶)⌋ = ⌊log₁₀((1−2^{− 11})2¹⁶)⌋ = ⌊log ₁₀(65,504)⌋ = ⌊4.8162…⌋ = 4，而 10⁴ 低于 HALF_MAX但是 10⁵ 不是。