python - 使用 sympy 反转函数并评估反转函数给了我一个错误的答案

Question

我正在尝试反转函数并计算反转函数。基本上，我有等式:

y = 1 / f * ln(1+c*x) / x

其中 c 和 f 是数值常量。在 python 中，我有以下代码来查找 x 作为 y 的函数，并为 y = 1.5 计算 x >:

import sympy as sp
import math

x, y_prime = sp.symbols("x y_prime", positive=True)
c = 10
f = math.log(1+c) - c/(1+c)
y = 1 / f * sp.log(1+c*x) / x
eqn = sp.Eq(y_prime, y)
sol_x = sp.solve(eqn, x, rational=False)[0]
print(sol_x.subs(y_prime, 1.5))

get 的输出是x=0，我知道这是错误的。另外，我在 Mathematica 中尝试了这个，在那里我得到了 x = 1.120173048953996，我知道这是正确的，因为在 y< 的表达式中坚持 x 的这个值 给出 y = 1.5。我想知道如何在 python 中获得正确答案。感谢您的帮助。

Answer 1

from sympy import *
var("f, c, x, y")
eq = Eq(y,  1 / f * log(1+c*x) / x)
sol = solve(eq, x)
print(sol[0])
# out: -LambertW(-f*y*exp(-f*y/c)/c)/(f*y) - 1/c

如您所见，有 Lambert W function ，它有两个分支:

SymPy 返回的解决方案由上面的分支(图中的蓝线)表示。对于这种情况，较低的(橙色)分支是正确的。

那么，让我们修改解决方案:

mod_sol = sol[0].replace(lambda t: isinstance(t, LambertW), lambda t: LambertW(*t.args, -1))
print(mod_sol)
# out: -LambertW(-f*y*exp(-f*y/c)/c, -1)/(f*y) - 1/c

现在我们可以评估它以找到 x:

import math
c_val = 10
f_val = math.log(1+c_val) - c_val/(1+c_val)

print(mod_sol.subs({f: f_val, c: c_val, y: 1.5}).n())
# out: 1.120173048954

编辑以满足评论:

I know what the end goal of the code sol[0].replace(lambda t: isinstance(t, LambertW), lambda t: LambertW(*t.args, -1)) is, but I'm struggling to understand how the code goes about to achieve that.

replace是一种“高级”方法，允许执行模式匹配操作。在此示例中，我向 replace 传递了以下参数:

• lambda 函数形式的查询:lambda t: isinstance(t, LambertW)。 SymPy 将把这个查询应用于符号表达式中包含的每个对象； t 参数表示 sympy 正在查看的当前对象。如果找到匹配项，查询返回 True，否则返回 False。例如，SymPy 开始查看 sol[0](请查看上面的内容以了解此表达式的组成方式):

  • 一开始，t 将是 sol[0]。 sol[0] 是 Lambert W 函数吗？不是，因为 sol[0] 是两项的加法，其中一项包含 Lambert W 函数。那么，让我们继续吧。
  • 那么，t 将是 -1/c:它是 Lambert W 函数吗？显然不是，让我们继续。
  • t 将是 -LambertW(-f*y*exp(-f*y/c)/c)/(f*y)。它是 Lambert W 函数吗？不，它是一个乘法，其中一项是 Lambert W 函数。那么，让我们继续吧。
  • 最终，t 将成为 LambertW(-f*y*exp(-f*y/c)/c)。这是 Lambert W 函数吗？是的，所以查询函数返回 True。

• 返回替换对象的函数:lambda t: LambertW(*t.args, -1))。如果查询函数为某个对象返回 True，SymPy 将获取该对象并将其传递给替换函数。具体来说，我在这里创建了一个新的 Lambert W 函数，其参数与原始术语 t 相同，但我要求它考虑带有 -1 的下分支>.

In the future, if I come across the LambertW function, how do I know which branch gives the correct solution?

这是我第一次接触 Lambert W 函数。我看了维基百科，看到了两个分支，我明白某处一定有一个极限值。所以我绘制了 sol[0] 和 mod_sol(见下图)。如您所见，直到 y ~ 6.5，下分支提供了正确的结果，之后必须考虑上分支。