time-complexity - 线段树——查询复杂度

Question

我在理解线段树的复杂性方面遇到了问题。很明显，如果你有只需要改变一个节点的更新函数，它的复杂度将是 log(n)。 但我不知道为什么查询(a，b)的复杂性是 log(n)，其中(a，b)是需要检查的间隔。 任何人都可以为我提供直观/正式的证据来理解这一点吗？

Answer 1

查询区间(x,y)有四种情况

FIND(R,x,y) //R is the node
% Case 1
    if R.first = x and R.last = y   
        return {R}
% Case 2
    if y <= R.middle
        return FIND(R.leftChild, x, y) 
% Case 3
    if x >= R.middle + 1 
        return FIND(R.rightChild, x, y) 
% Case 4
    P = FIND(R.leftChild, x, R.middle)
    Q = FIND(R.rightChild, R.middle + 1, y)    
    return P union Q.

直观上，前三种情况将树的高度减1，因为树的高度为log n，如果只发生前三种情况，运行时间为O(log n)。

对于最后一种情况，FIND() 将问题分成两个子问题。但是，我们断言这最多只能发生一次。在调用 FIND(R.leftChild, x, R.middle) 之后，我们在 R.leftChild 中查询区间 [x, R.middle]。 R.middle 与 R.leftChild.last 相同。如果x > R.leftChild.middle，则为Case 1；如果 x <= R.leftChild，那么我们将调用

FIND ( R.leftChild.leftChild, x, R.leftChild.middle );
FIND ( R.leftChild.rightChild, R.leftChild.middle + 1, , R.leftChild.last );

然而，第二个 FIND() 返回 R.leftChild.rightChild.sum ，因此需要常数时间，并且问题不会分离为两个子问题(严格来说，问题是分离的，虽然一个子问题需要 O(1 ) 是时候解决了)。

由于同样的分析对R的rightChild成立，我们得出结论，在case4第一次发生后，运行时间T(h)(h是树的剩余层级)为

T(h) <= T(h-1) + c (c is a constant)
T(1) = c

产生:

T(h) <= c * h = O(h) = O(log n) (since h is the height of the tree)

至此证明结束。

第一次投稿，如有问题请指出，我会修改答案。