math - 如果 13* D = 1 mod 60 那么 D = 37 如何？

Question

我正在解决一个示例问题，RSA algorithm
我得到了两个素数 7 和 11。比如说 p=7 和 q=11
我必须为某个加密 key e 计算解密 key d。

首先我计算了 n=p*q 这意味着 n=77<​​。

假设 e=13,
计算 d 我使用了公式 d*e = 1 mod fi， 其中 fi=(p-1)(q-1)，所以 fi=60

最终方程变为13*d = 1 mod fi

根据一些已解决的示例 d 被计算为37，这个结果是怎么得到的？

任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我想这就是你要找的东西

验证答案很容易，首先找到它，然后再做一些工作。

验证:

13 * 37 = 481 
481 = 8 * 60 + 1

因此，如果将 13 * 37 除以 60，则余数为 1。

备选答案:

任何形式为 (37 + 60 k) 的整数，其中 k 是任何整数，也是一个解。 (97、-23 等)

要找到解决方案，您可以执行以下操作:
解决:

13 d = 1 + 60 k 
mod 13:
0 = 1 + 8k (mod 13) 
8k = -1 (mod 13) 
Add 13's until a multiple of 8 is found: 
8k = 12 or 25 or 38 or 51 or 64 .... aha a multiple of 8! 
k = 64 / 8 = 8 
Substitute k = 8 back into 13 d = 1 + 60 k 
13 d = 1 + 8 * 60 = 481 
481 /13 = 37 

这就是答案。