recursion - agda 中递归函数调用的终止检查

Question

以下代码在 Haskell 中完全没问题:

dh :: Int -> Int -> (Int, Int)
dh d q = (2^d, q^d)
a = dh 2 (fst b)
b = dh 3 (fst a)

Agda 中的类似代码无法编译(终止检查失败):

infixl 9 _^_
_^_ : ℕ → ℕ → ℕ
x ^ zero = 1
x ^ suc n = x * (x ^ n)

dh : ℕ -> ℕ -> ℕ × ℕ
dh d q = 2 ^ d , q ^ d

mutual
  a = dh 2 (proj₁ b)
  b = dh 3 (proj₁ a)

a 的定义使用 a，它在结构上并没有更小，因此是循环。终止检查器似乎不会查看 dh 的定义。

我试过使用共同感应，设置选项 --termination-depth=4 -- 没有帮助。 在 mutual block 中插入 {-# NO_TERMINATION_CHECK #-} 会有所帮助，但它看起来像是作弊。

是否有一种干净的方法让 Agda 编译代码？ Agda 的终止检查器是否有一些基本限制？

Answer 1

Agda 不像 Haskell 那样假定惰性求值。相反，Agda 要求所有表达式都是强规范化。这意味着无论您评估子表达式的顺序如何，您都应该得到相同的答案。你给出的定义不是强规范化的，因为有一个不终止的评估顺序:

a
-->
dh 2 (proj₁ b)
-->
dh 2 (proj₁ (dh 3 (proj₁ a))
-->
dh 2 (proj₁ (dh 3 (proj₁ (dh 2 (proj₁ b)))))

特别是，Agda 的 JavaScript 后端会生成不会为 a 和 b 终止的代码，因为 JavaScript 是严格评估的。

Agda's termination checker检查强规范化程序的子集:那些只有结构递归的程序。它查看函数定义中模式匹配的构造函数的数量和顺序，以确定递归调用是否使用“较小”参数。 a 和 b 没有任何参数，因此终止检查器会看到从 a 到 a 的嵌套调用(通过 b)与 a 本身具有相同的“大小”。