matlab - 求解广义特征向量和特征值以获得公共(public)基础

Question

我正在寻找在 Matlab 中解决广义特征向量和特征值问题。为此，我测试了 2 种方法。

如果广义问题被公式化为:

然后，我们可以在每一边乘以 B^(-1)，例如:

所以，从理论上讲，这是一个简单而经典的特征值问题。
最后，在 Matlab 中，我简单地使用了 A=FISH_sp和 B=FISH_xc :

[Phi, Lambda] = eig(inv(FISH_xc)*FISH_sp);

但是当我在一个简单的 Fisher 合成之后做出的结果是不正确的(约束条件太差，并且还出现了 nan 值。我不知道为什么我没有得到与下面第二个相同的结果。

第二种方法来自以下paper .

总而言之，所使用的算法在第 7 页中进行了描述。我遵循了该算法的所有步骤，并且在进行 Fisher 合成时似乎得到了更好的结果。
这里是感兴趣的部分(抱歉，我认为 stakoverflow 上没有 Latex ):

这是我用于此方法的小 Matlab 脚本:

% Diagonalize A = FISH_sp and B = Fish_xc
[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Applying each  step of algorithm 1 on page 7
phiB_bar = V2*(D2.^(0.5)+1e-10*eye(7))^(-1);
barA = inv(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar;
[phiA, vA] = eig(barA);
Phi = phiB_bar*phiA;

所以最后，我找到了 phi 特征向量矩阵 (phi) 和 lambda 对角矩阵 (D1)。

现在，我想将这个广义问题与 A 和 B 矩阵(分别是 Fish_sp 和 Fish_xc)之间的最终公共(public)特征向量联系起来。有没有办法执行此操作？

确实，我到现在所做的就是找到A*Phi之间的平行关系。和 B*Phi , 由 Lambda 对角矩阵链接 .也许，我们可以这样安排这种关系:

A*Phi'=Phi'*Lambda_A'

和

B*Phi'=Phi'*Lambda_B'

从数值的角度来看，为什么我在 1) 中的方法和 3) 中的方法之间没有得到相同的结果？我的意思是关于 Phi特征向量矩阵和 Lambda对角矩阵。

然而，这是相同的公式。
编辑:
如果我想说，我会得到错误的结果phi 对角化 A=FISH_sp 和 B=FISH_xc 矩阵。
事实上，通过这样做:

% Marginalizing over uncommon parameters between the two matrices
COV_GCsp_first = inv(FISH_GCsp);
COV_XC_first = inv(FISH_XC);
COV_GCsp = COV_GCsp_first(1:N,1:N);
COV_XC = COV_XC_first(1:N,1:N);
% Invert to get Fisher matrix
FISH_sp = inv(COV_GCsp);
FISH_xc = inv(COV_XC);
% Diagonalize
[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Build phi matrix
% V2 corresponds to eigen vectors of FISH_xc
phiB_bar = V2*diag(diag(D2.^(-0.5)));
% DEBUG : check identity matrix => OK, Identity matrix found !
id = (phiB_bar')*FISH_xc*phiB_bar
% phi matrix
barA = (phiB_bar')*FISH_sp*phiB_bar
[phiA, vA] = eig(barA);
phi = phiB_bar*phiA;

% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues found !
FISH_sp*V1./V1
% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues found !
FISH_xc*V2./V2

% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK, not identical eigenvalues 
FISH_sp*phi./phi
% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK, not identical eigenvalues 
FISH_xc*phi./phi

所以，我没有找到特征向量矩阵 Phi对角化 A 和 B，因为预期的特征值不是相同值的列。
顺便说一下，我找到了特征值 D1和 D2来自(哪里 :

[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues D1 found !
FISH_sp*V1./V1
% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues D2 found !
FISH_xc*V2./V2

我怎么能解决这个错误的结果(我说的是比率:

FISH_sp*phi./phi
FISH_xc*phi./phi

对于给定的 FISH_sp 列没有给出相同的值和 FISH_xc )
)
??在论文中，他们说phi对角化 A=FISH_sp和 B=FISH_xc但我无法重现它。
如果有人能看到我的错误在哪里......

Answer 1

您定义了 barA = inv(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar .从方程。 (39) 在手稿中它看起来应该是 barA = transpose(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar反而。
此外，您的方法 1 在 B 时失败是单数(逆不存在)。 MATLAB 的 eig(A,B)但是也应该处理单数 B如果我没记错的话。