julia - 为什么 Julia 无法系统地求解线性系统？

Question

正方形 A 的 Ax=b 问题由\函数解决。考虑到这一点，我尝试执行以下操作:

A = rand(1:4,3,3)
x = fill(1.0, 3)
b = A * x 
A\b

出于某种原因，代码有时似乎可以正常工作。但有时它会返回以下错误:

LinearAlgebra.SingularException(3)

Stacktrace:
 [1] checknonsingular
   @ /buildworker/worker/package_linux64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/LinearAlgebra/src/factorization.jl:19 [inlined]
 [2] checknonsingular
   @ /buildworker/worker/package_linux64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/LinearAlgebra/src/factorization.jl:21 [inlined]
 [3] #lu!#136
   @ /buildworker/worker/package_linux64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/LinearAlgebra/src/lu.jl:85 [inlined]
 [4] #lu#140
   @ /buildworker/worker/package_linux64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/LinearAlgebra/src/lu.jl:273 [inlined]
 [5] lu (repeats 2 times)
   @ /buildworker/worker/package_linux64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/LinearAlgebra/src/lu.jl:272 [inlined]
 [6] \(A::Matrix{Int64}, B::Vector{Float64})
   @ LinearAlgebra /buildworker/worker/package_linux64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/LinearAlgebra/src/generic.jl:1136
 [7] top-level scope
   @ In[208]:4
 [8] eval
   @ ./boot.jl:360 [inlined]
 [9] include_string(mapexpr::typeof(REPL.softscope), mod::Module, code::String, filename::String)
   @ Base ./loading.jl:1116

所以，我试图了解发生了什么，并执行了代码 10000000 次，发现它有 10% 的执行失败。

using Printf

i = 0
test = 10000000
for x in 1:test    
    try
        A = rand(1:4,3,3)
        x = fill(1.0, 3)
        b = A * x 
        A\b
    catch 
        i = i+1        
    end
end

fail_percentage = (i/test)*100

@printf "this code has failed in %.2f%%" fail_percentage

谁能给我解释一下这里发生了什么？

Answer 1

错误是明确的:LinearAlgebra.SingularException。这不是 Julia 的失败，而是方程组的一个属性。

如果矩阵 A 是奇异的，则没有单一的解决方案 - 如果系统是齐次的，则有无限多的解决方案，或者在一般情况下没有。似乎您已经使用您测试的属性(A 和 x 的维度，x 填充 1s， A 填充在 1 和 4 之间)。

如果像 OP 一样，您希望跳过奇异矩阵，则需要确保 A 的行列式不为 0。您可以使用内置函数来检查和跳过此类矩阵，或者通过注意行列式本身是一个方程来生成它们，因此，对于没有 0 个条目的 3x3 示例，您选择 8 个数字，您可以计算第 9 个不能是什么以确保行列式不为零。如果允许 0，则需要检查所有可能性。