python - 查找函数的梯度 : Sympy vs. Jax

Question

我有一个函数 Black_Cox() 调用其他函数，如下所示:

import numpy as np
from scipy import stats

# Parameters
D = 100
r = 0.05
γ = 0.1

# Normal CDF
N = lambda x: stats.norm.cdf(x)

H = lambda V, T, L, σ: np.exp(-r*T) * N( (np.log(V/L) + (r-0.5*σ**2)*T) / (σ*np.sqrt(T)) )

# Black-Scholes
def C_BS(V, K, T, σ):
    d1 = (np.log(V/K) + (r + 0.5*σ**2)*T ) / ( σ*np.sqrt(T) )
    d2 = d1 - σ*np.sqrt(T)
    return V*N(d1) - np.exp(-r*T)*K*N(d2)

def BL(V, T, D, L, σ):
    return L * H(V, T, L, σ) - L * (L/V)**(2*r/σ**2-1) * H(L**2/V, T, L, σ) \
              + C_BS(V, L, T, σ) - (L/V)**(2*r/σ**2-1) * C_BS(L**2/V, L, T, σ) \
              - C_BS(V, D, T, σ) + (L/V)**(2*r/σ**2-1) * C_BS(L**2/V, D, T, σ)

def Bb(V, T, C, γ, σ, a):
    b = (np.log(C/V) - γ*T) / σ
    μ = (r - a - 0.5*σ**2 - γ) / σ
    m = np.sqrt(μ**2 + 2*r)
    return C*np.exp(b*(μ-m)) * ( N((b-m*T)/np.sqrt(T)) + np.exp(2*m*b)*N((b+m*T)/np.sqrt(T)) )

def Black_Cox(V, T, C=160, σ=0.1, a=0):
    return np.exp(γ*T)*BL(V*np.exp(-γ*T), T, D*np.exp(-γ*T), C*np.exp(-γ*T), σ) + Bb(V, T, C, γ, σ, a)

我需要使用 Black_Cox 函数的导数 w.r.t. V。更准确地说，我需要在我更改其他参数的数千条路径上评估这个导数，找到导数并在某个 V 处评估。

最好的方法是什么？

• 我是否应该使用 sympy 找到这个导数，然后在我选择的 V 上求值，就像我在 Mathematica 中所做的那样:D[BlackCox [V, 10, 100, 160], V]/. V -> 180，或者

• 我应该只使用 jax 吗？

如果sympy，你会建议我怎么做？

使用 jax 我知道我需要执行以下导入:

import jax.numpy as np
from jax.scipy import stats
from jax import grad

并在获取梯度之前重新评估我的函数:

func = lambda x: Black_Cox(x,10,160,0.1)
grad(func)(180.0)

如果我仍然需要使用函数的 numpy 版本，我是否必须为每个函数创建 2 个实例，或者是否有一种优雅的方法来为 jax 目的？

Answer 1

Jax 不提供任何内置方法来使用 numpy 和 scipy 的 jax 版本重新编译 numpy 函数。但是您可以使用像下面这样的代码片段来自动执行此操作:

import inspect
from functools import wraps
import numpy as np
import jax.numpy

def replace_globals(func, globals_):
  """Recompile a function with replaced global values."""
  namespace = func.__globals__.copy()
  namespace.update(globals_)
  source = inspect.getsource(func)
  exec(source, namespace)
  return wraps(func)(namespace[func.__name__])

它是这样工作的:

def numpy_func(N):
  return np.arange(N) ** 2

jax_func = replace_globals(numpy_func, {"np": jax.numpy})

现在您可以评估 numpy 版本:

numpy_func(10)
# array([ 0,  1,  4,  9, 16, 25, 36, 49, 64, 81])

和 jax 版本:

jax_func(10)
# DeviceArray([ 0,  1,  4,  9, 16, 25, 36, 49, 64, 81], dtype=int32)

只要确保在包装更复杂的函数时替换所有相关的全局变量即可。