我正在尝试使用 Agda 解决以下一阶逻辑问题:
problem : {A B : Set} {f : A → B} → inj f → ∀[ x ] ∀[ y ] (¬ Eq x y → ¬ Eq (f x) (f y))
使用以下平等关系定义和一些支持定义:
data ⊥ : Set where
⊥-elim : {A : Set} → ⊥ → A
⊥-elim ()
infix 3 ¬_
¬_ : Set → Set
¬ A = A → ⊥
Π : (A : Set) → (B : A → Set) → Set
Π A B = (a : A) → B a
forAll : {A : Set} → (B : A → Set) → Set
forAll {A} B = Π A B
∀-syntax = forAll
infix 0 ∀-syntax
syntax ∀-syntax (λ a → B) = ∀[ a ] B
apply : {A : Set} → {B : A → Set} → Π A B → (a : A) → B a
apply f x = f x
data Σ (A : Set) (B : A → Set) : Set where
⟨_,_⟩ : (a : A) → B a → Σ A B
thereExists : ∀ {A : Set} (B : A → Set) → Set
thereExists {A} B = Σ A B
∃-syntax = thereExists
infix 0 ∃-syntax
syntax ∃-syntax (λ x → B) = ∃[ x ] B
∃-elim : {A : Set} {B : A → Set} {C : Set} → (∀ (a : A) → B a → C) → Σ A B → C
∃-elim a→b→c ⟨ a , b ⟩ = a→b→c a b
dfst : {A : Set} {B : A → Set} → Σ A B → A
dfst ⟨ a , _ ⟩ = a
dsnd : {A : Set} {B : A → Set} → (p : Σ A B) → B (dfst p)
dsnd ⟨ _ , b ⟩ = b
module IFOL
(Eq : {A : Set} → A → A → Set)
(subst : {A B : Set} → (f : A → B) → ∀[ a1 ] ∀[ a2 ] (Eq a1 a2 → Eq (f a1) (f a2)))
(trans : {A : Set} → (a1 a2 a3 : A) → Eq a1 a2 → Eq a2 a3 → Eq a1 a3)
where
inj : {A B : Set} → (A → B) → Set
inj {A} {B} f = ∀[ a1 ] ∀[ a2 ] (Eq (f a1) (f a2) → Eq a1 a2)
surj : {A B : Set} → (A → B) → Set
surj {A} {B} f = ∀[ b ] ∃[ a ] Eq (f a) b
infix 20 _∘_
_∘_ : {A B C : Set} → (A → B) → (B → C) → A → C
(f ∘ g) a = g (f a)
我解决这个问题的方法如下:
problem : {A B : Set} {f : A → B} → inj f → ∀[ x ] ∀[ y ] (¬ Eq x y → ¬ Eq (f x) (f y))
problem injf x y noteqxy eqfxfy = noteqxy ?
但是,我被困在那里,无法进一步找到一个解决方案来让我实现目标Eq x y
。我尝试过以多种方式使用 injf
函数,但主要问题似乎是我不知道如何返回函数类型。
由于这是我正在做的学生作业,我并不是要求解决方案,只是寻求关于我应该如何推进该解决方案的指导(这是正确的方向吗?我应该使用 subst
或 trans
在我的解决方案中?)。
最佳答案
如果不给你解决方案,很难帮助你,因为它很短,但我会尝试。
提示 1:您不需要 subst
也不需要 trans
提示 2:解决方案只是上下文中元素的简单组合
提示3:如果你想返回一个函数,如你的句子
but the main problem seems to be that I don't know how to return a function type.
建议,您需要删除参数eqfxfy
并使用_∘_
的依赖版本,该版本不是您定义的版本。您可以在标准库文件 Function.agda
中找到此类定义,但我想您不打算使用来自 std lib 的任何导入。但是,我不明白为什么你应该这样做,因为返回从 A 到 B 的函数与返回 B 的元素并添加 A 类型的参数相同,这就是你想要的,因为您添加了参数 eqfxfy
。
提示 4:要求 Agsy 使用 CTRL-C CTRL-A 为您构建术语,为您提供解决方案,您可以稍后尝试并理解该解决方案
关于logic - 使用等式关系证明定理 : ∀[ x ] ∀[ y ] (¬ Eq x y → ¬ Eq (f x) (f y)),我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/61809848/