我正在尝试绘制 Reissner-Nordström 黑洞(带电黑洞)周围带电粒子的轨道。
我有三个二阶微分方程以及 3 个一阶微分方程。由于问题的性质，每个导数都是以原时间而不是时间 t 为单位的。运动方程如下。
2 first order differential equation second order differential equations
3 second order differential equations
我正在使用四阶龙格库塔方法来积分轨道。我的困惑，以及我最有可能犯的错误，来自这样一个事实:通常当你有一个二阶耦合微分方程时，你会将它简化为两个一阶微分方程。然而，在我的问题中，我得到了 3 个一阶微分方程及其相应的二阶微分方程。我认为既然我得到了这些一阶方程，我根本就不必减少二阶方程。这些方程是非线性的这一事实确实使事情变得更加复杂。
我确信我可以使用龙格库塔来解决此类问题，但我不确定我对运动方程的实现。当我运行代码时，我收到一个错误，指出负数低于 F2 的平方根，但情况不应该是这样，因为 F2 应该恰好等于零(无疑是 F1 引起的精度问题)。然而，即使我取 F1、F2、F3 平方根下所有值的绝对值……我的角动量 L 和能量 E 也不守恒。我主要希望有人评论我在龙格库塔循环中使用微分方程的方式，并告诉我应该如何减少二阶微分方程。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math as math
#=============================================================================
h=1
M = 1 #Mass of RN blackhole
r = 3*M #initital radius of particle from black hole
Q = 0 #charge of particle
r_s = 2*M #Shwar radius
S = 0 # initial condition for RK4
V = .5 # Initial total velocity of particle
B = np.pi/2 #angle of initial velocity
V_p = V*np.cos(B) #parallel velocity
V_t = V*np.sin(B) #transverse velocity
t = 0
Theta = 0
E = np.sqrt(Q**2-2*r*M+r**2)/(r*np.sqrt(1-V**2))
L = V_t*r/(np.sqrt(1-V**2))
r_dot = V_p*np.sqrt(r**2-2*M+Q**2)/(r*np.sqrt(1-V**2))
Theta_dot = V_t/(r*np.sqrt(1-V**2))
t_dot = E*r**2/(r**2-2*M*r+Q**2)
#=============================================================================
while(r>2*M and r<10*M): #Runge kutta while loop
A1 = 2*(Q**2-M*r) * r_dot*t_dot / (r**2-2*M*r+Q**2) #defines T double dot fro first RK4 step
B1 = -2*Theta_dot*r_dot / r #defines theta double dot for first RK4 step
C1 = (r-2*M*r+Q**2)*(Q**2-M*r)*t_dot**2 / r**5 + (M*r-Q**2)*r_dot**2 / (r**2-2*M*r+Q**2) #defines r double dot for first RK4 step
D1 = E*r**2/(r**2-2*M*r+Q**2) #defines T dot for first RK4 step
E1 = L/r**2 #defines theta dot for first RK4 step
F1 = math.sqrt(-(1-r_s/r+Q**2/r**2) * (1-(1-r_s/r+Q**2/r**2)*D1**2 + r**2*E1**2)) #defines r dot for first RK4 step
t_dot_1 = t_dot + (h/2) * A1
Theta_dot_1 = Theta_dot + (h/2) * B1
r_dot_1 = r_dot + (h/2) * C1
t_1 = t + (h/2) * D1
Theta_1 = Theta + (h/2) * E1
r_1 = r + (h/2) * F1
S_1 = S + (h/2)
A2 = 2*(Q**2-M*r_1) * r_dot_1*t_dot_1 / (r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
B2 = -2*Theta_dot_1*r_dot_1 / r_1
C2 = (r_1-2*M*r_1+Q**2)*(Q**2-M*r_1)*t_dot_1**2 / r_1**5 + (M*r_1-Q**2)*r_dot_1**2 / (r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
D2 = E*r_1**2/(r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
E2 = L/r_1**2
F2 = np.sqrt(-(1-r_s/r_1+Q**2/r_1**2) * (1-(1-r_s/r_1+Q**2/r_1**2)*D2**2 + r_1**2*E2**2))
t_dot_2 = t_dot + (h/2) * A2
Theta_dot_2 = Theta_dot + (h/2) * B2
r_dot_2 = r_dot + (h/2) * C2
t_2 = t + (h/2) * D2
Theta_2 = Theta + (h/2) * E2
r_2 = r + (h/2) * F2
S_2 = S + (h/2)
A3 = 2*(Q**2-M*r_2) * r_dot_2*t_dot_2 / (r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
B3 = -2*Theta_dot_2*r_dot_2 / r_2
C3 = (r_2-2*M*r_2+Q**2)*(Q**2-M*r_2)*t_dot_2**2 / r_2**5 + (M*r_2-Q**2)*r_dot_2**2 / (r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
D3 = E*r_2**2/(r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
E3 = L/r_2**2
F3 = np.sqrt(-(1-r_s/r_2+Q**2/r_2**2) * (1-(1-r_s/r_2+Q**2/r_2**2)*D3**2 + r_2**2*E3**2))
t_dot_3 = t_dot + (h/2) * A3
Theta_dot_3 = Theta_dot + (h/2) * B3
r_dot_3 = r_dot + (h/2) * C3
t_3 = t + (h/2) * D3
Theta_3 = Theta + (h/2) * E3
r_3 = r + (h/2) * F3
S_3 = S + (h/2)
A4 = 2*(Q**2-M*r_3) * r_dot_3*t_dot_3 / (r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
B4 = -2*Theta_dot_3*r_dot_3 / r_3
C4 = (r_3-2*M*r_3+Q**2)*(Q**2-M*r_3)*t_dot_3**2 / r_3**5 + (M*r_3-Q**2)*r_dot_3**2 / (r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
D4 = E*r_3**2/(r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
E4 = L/r_3**2
F4 = np.sqrt(-(1-r_s/r_3+Q**2/r_3**2) * (1-(1-r_s/r_3+Q**2/r_3**2)*D3**2 + r_3**2*E3**2)) #defines r dot for first RK4 step
t_dot = t_dot + (h/6.0) * (A1+(2.*A2)+(2.0*A3) + A4)
Theta_dot = Theta_dot + (h/6.0) * (B1+(2.*B2)+(2.0*B3) + B4)
r_dot = r_dot + (h/6.0) * (C1+(2.*C2)+(2.0*C3) + C4)
t = t + (h/6.0) * (D1+(2.*D2)+(2.0*D3) + D4)
Theta = Theta + (h/6.0) * (E1+(2.*E2)+(2.0*E3) + E4)
r = r + (h/6.0) * (F1+(2.*F2)+(2.0*F3) + F4)
S = S+h
print(L,r**2*Theta_dot)
plt.axes(projection = 'polar')
plt.polar(Theta, r, 'g.')
最佳答案
取您提供的三个二阶微分方程。这些是由原时参数化的测地方程。然而，原始度量是旋转不变的(即 SO(3) 不变)，因此它有一组简单的守恒定律，加上度量守恒(即原时守恒)。这意味着 t 和 theta 的二阶微分方程可以积分一次，从而得到 t 的两个一阶微分方程组和 theta 以及 r 的一个二阶微分方程:
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
d**2r/ds**2 = ( (r**2-2*M*r + Q**2)*(Q**2 - M*r)/r**5) * (dt/ds)**2
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * (dr/ds)**2
这里您可以采用不同的方法，其中一个是通过将上面的前两个方程代入度量在轨迹等于 1。但是您也可以直接转到此处，将 dt/ds 方程的右侧代入到 r 的第三个方程中，表示系统为
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
d**2r/ds**2 = ( c_0**2*(Q**2 - M*r)/(r*(r**2-2*M*r + Q**2)))
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * (dr/ds)**2
为了避免使用平方根和复杂化(平方根也是昂贵的计算，而有理函数是简单的、更快的代数计算)，定义四个一阶微分方程的等效系统
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
dr/ds = u
du/ds = ( c_0**2*(Q**2 - M*r)/(r*(r**2-2*M*r + Q**2)))
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * u**2
借助t、theta、r及其导数dt/dt、dtheta/dt、dr/dt的初始条件，您可以计算常数c_0 和 c_1 用于第一个和第二个方程，然后计算 u = dr/dt 的初始条件。
关于python - 在 python 中使用四阶龙格库塔求解 3 个耦合非线性微分方程，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/66664733/