regex - 查找其他描述的语言的正则表达式

Question

设 {a b} 为字母集，写出正则表达式:

1)所有a和b的数量均为奇数的单词的语言；

2) 所有长度为奇数且包含子串 ab 的单词的语言。

另外，如果可能的话，请帮我找到两种不同的表达方式，以帮助加强我对如何解决此类问题的理解。

Answer 1

对于第一个，您可以构建一个简单的 4 状态 DFA 来识别该语言。然后，您可以使用可从 Kleene 定理(他说 FA 识别的所有语言都是由 RE 生成的部分)恢复的算法来获得有效的 RE...或者只是从图表中推理出来。

对于第二个，你知道 (ab) 是 RE 的一部分；现在，您需要考虑所有可以向其添加奇数个字符(正面或背面)的独特方法，并用 + 连接所有这些可能性，以获得简单、正确的 RE。

我认为没有人特别喜欢只给你答案的想法。

编辑:

现在已经过去了一段时间，我将研究第一个问题的答案，向感兴趣的读者展示如何做到这一点。

我们的第一个 FA 是这样的:

   Q s f(Q, s)
  -- - -------
  EE a     OE
  EE b     EO
  OE a     EE
  OE b     OO
  EO a     OO
  EO b     EE
  OO a     EO
  OO b     OE

我们将从中删除状态并用正则表达式替换 s 以覆盖该状态。我们从一个简单的开始......让我们摆脱 OE。这是该表...

   Q                  regex f(Q, s)
  -- ---------------------- -------
  EE                     aa      EE
  EE                     ab      OO
  EE                      b      EO
  EO                      a      OO
  EO                      b      EE
  OO                      a      EO
  OO                     ba      EE
  OO                     bb      OO

在继续之前先说服自己这是正确的。接下来，我们去掉 EO:

   Q                  regex f(Q, s)
  -- ---------------------- -------
  EE                  aa+bb      EE
  EE                  ab+ba      OO
  OO                  ab+ba      EE
  OO                  aa+bb      OO

为了让下一步更简单，我们引入一个新的起始集X和一个新的接受状态Y； OO不再接受。我们消除了对 OO 的需求:

   Q                        regex f(Q, s)
  -- ---------------------------- -------
   X                        empty      EE
  EE aa+bb+(ab+ba)(aa+bb)*(ab+ba)      EE
  EE              (ab+ba)(aa+bb)*       Y

因此，最终的正则表达式是

  (aa+bb+(ab+ba)(aa+bb)*(ab+ba))*(ab+ba)(aa+bb)*

我们可以开始尝试列出生成的最小字符串，就像基本的健全性检查一样: {ab, ba, aaab, aaba, bbab, bbba, abaa, abbb, baaa, babb, ...} 看起来不错我!

每个步骤的减少规则可以形式化，或者您可以应用仔细的推理来确保您得到正确的结果。检查克莱恩定理的证明以进行仔分割析。另外，Martin 的《形式语言简介》或其他书籍有使用此算法的很好的示例。