matlab - Matlab 上的对数最小二乘法

Question

如何使用此函数y=(a*x)./(b+x)来近似该数据 x = [1.5 4 5 8 12 16 17], y = [1.6 2.6 2.4 3.2 3.4 3.6 3.4] 使用 matlab 进行最小二乘法？

我使用对数并得到log(y)=log(a*x)-log(b+x)。结果不是我需要的 y = a*x + b 形式。 a 它没有与 x 相乘，因为它应该是这样，但它被添加到它，因为 log(y)=log(a)+log(x )-log(b)。所以我不知道下一步该做什么。我知道执行 y=b*x.^a 和 y=b*exp.(x*a) 的代码，但我不知道如何解决这个。

Answer 1

嗯，我想是时候回到代数 1 了。log(b+x) 与 log(b) 不同。您无法使用日志来解决此问题，至少不能像您尝试过的那样。

只要您愿意快速而宽松地处理错误结构(即使您不知道这意味着什么，它仍然很重要)，那么假设您颠倒了事情？

1/y = (b+x)/(ax) = b/(ax) + 1/a

变换问题，使得

c = b/a
d = 1/a
u = 1/x
v = 1/y

现在我们有了

v = cu + d

解决这个线性回归问题，然后从 c 和 d 恢复 a 和 b。

在 MATLAB 中，这很简单。

x = [1.5 4 5 8 12 16 17];
y = [1.6 2.6 2.4 3.2 3.4 3.6 3.4];

u = 1./x;
c_d = polyfit(u,1./y,1)
c = c_d(1);
d = c_d(2);

a = 1./d
a =
          3.90554889035516

b = c*a
b =
          2.19394529536478

并绘制拟合结果。

ezplot(@(x) a.*x./(b+x),[1.5 17])
hold on
plot(x,y,'ro')