coq - 如何定义与函数相互递归的归纳类型？

Question

我想定义一个归纳类型 Foo，构造函数接受一些属性作为参数。我希望这些属性取决于我当前定义的类型的归纳参数。我希望能够使用一些递归函数 bar 从这些属性中收集一些数据，该函数采用 Foo 类型的对象。但是，我不知道有什么方法可以声明这两个，以便 Coq 接受它们的定义。我希望能够写出这样的东西:

Inductive Foo : Set (* or Type *) :=
| Foo1 : forall f : Foo, bar f = 1 -> Foo
| Foo2 : forall f : Foo,  bar f = 2 -> Foo
| Foon : nat -> Foo
with bar (f : Foo) : nat := 
  match f with
  | Foo1 _ _ => 1
  | Foo2 _ _ => 2
  | Foon n => S n
  end.

通常，with 是处理相互递归的方法，但是我看到的所有示例都是它与两个定义一起使用，以 Inductive 或 固定点。这样的相互递归甚至可能吗？

Answer 1

这种类型的定义被称为“归纳递归”。不幸的是，它在 Coq 中不受支持，但如果我没记错的话，它在 Agda 定理证明器中受支持。