floating-point - 对于接近统一的值， float 学是否更精确？

Question

问题

我多次被告知，如果运算的数字接近 1.0(或有时 0.1)，浮点运算的精度最高。这有什么道理吗？

澄清

“算术”是指 a + b、a * b、a/b，还有 sqrt (x) 和其他数学函数。

具体来说，假设所有变量都是IEEE 64 bit double precision float 。

例子

在物理模拟代码中，物理单位通常通过将它们映射到浮点值来合并。在这里我们有很多自由，但一个选择是使用 SI/metric system , 像

# Base units
m  = 1.0  # metre
s  = 1.0  # second
kg = 1.0  # kilogram
# Derived units
km = 1e+3*m             # kilometre
yr = 60*60*24*365.25*s  # year
m_sun = 1.98841e+30*kg  # mass of the sun
c = 299792458*m/s       # speed of light
...

此类代码中任何量纲变量的数值取决于单位系统的选择。如果我们得到一个值 x == 1.2e-9 并且 x 应该被理解为例如长度，我们知道这意味着 x 是 1.2 纳米。如果我们选择设置 m = 1e-9，x 将取而代之的是 1.2 的值，因为我们现在正在纳米为基本长度单位的单位制。

根据模拟中研究的物理系统，可能会选择不同的“自然”单位系统。如果我们的重点是原子物理学，那么选择太阳质量作为基本质量单位可能并不理想。为什么不呢？那是我的问题。当然，所有感兴趣的质量都会有很小的数值，但那又怎样？浮点运算固有的不精确性是否会因处理极小/极大的数字而以某种方式被放大？

我知道存在最小和最大 float (类似于 1e-324 和 1e+308)。对于手头的任务使用如此古怪的单位系统，以至于我们的变量值超出这些限制当然是破坏性的。尽管将值很好地保持在这些范围内，代码中的典型值是否顺序为 1.0、1e±10、1e±100< 真的有什么区别吗?

关于数学函数的注意事项

在输入非常大/非常小的情况下，各种数学函数实际上明显不精确。例如，cos(1e-8) == 1，即cos()函数无法区分小于1e-8的正数.这与我的问题不相关，因为 cos() 的输入必须始终是无量纲的纯数字，即独立于代码中定义的单位系统。这同样适用于所有其他三角函数，还有 exp()、log() 和其他函数。

Answer 1

Is floating point math more precise for values close to unity?

不是真的。

一般来说， float 学很好地保留了*、/、sqrt() 覆盖的真实精度浮点范围的最大份额。 +、- 由于减去附近的值而导致相对精度(对结果)的显着损失。

总体而言，相对 精度的正常数字几乎没有差异。它从 (0.5 到 1.0] * 2^-53 变化。

绝对精度以 2 的幂为单位变化。

float [0.5...1.0) 具有相同的绝对精度。对于 double 2^-54。
float [1.0...2.0) 具有相同的绝对精度。对于 double 2^-53。
float [2.0...4.0) 具有相同的绝对精度。对于 double 2^-52。
float [4.0...8.0) 具有相同的绝对精度。对于 double 2^-51。
等等

floating point arithmetic has the greatest precision if the numbers operated on are close to 1.0 (or sometimes 0.1). Is there any truth to this?

刚好低于 2 的幂的值比刚好高于 2 的幂的值具有更高的绝对精度(大约 2 倍)。

对于微小的次正常值，精度会丢失，每 2 次幂一位，直到达到 0.0。

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高级:当三角函数的量级很大时，需要特别注意三角函数。高质量的 sin(1e10) 对主要的 [-pi ... pi] 范围进行内部扩展的高精度参数缩减。并非所有触发函数实现都能很好地处理此步骤。因此，对于弧度参数，从主要范围开始有助于保持精度。对于度数参数，一个简单的 fmod(deg, 360.0) 是一个简单而精确的范围缩减。